Kraftkomponenter – ett belastningsproblem.

Vi antar att en massa på 85 kg, belastar vajrar enligt bilden. Bestäm spännkrafterna i vajrarna.

vajer1

___________________________________________________________________________

Detta är ett statiskt problem, vilket innebär att krafternas summa är noll. Vi behandlar i den följande lösningen, krafterna som tvådimensionella vektorer i ett x,y-koorinatsystem, där x-axeln är horisontell och y-axeln vertikal.

vajern2korvaj1korvaj2

Det var det. Återstår bara att avrunda en aning.

Annonser

SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 9

8.

Låt

\begin{array}{l}\bar{a}=(\cos \varphi -2\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi +2\cos \varphi )\bar{k}\\\bar{b}=(\cos \varphi +\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi -\cos \varphi )\bar{k}\end{array}

a) Visa att vektorerna {\bar{a}} och {\bar{b}} är vinkelräta mot varandra för alla \varphi \in \mathbb{R}

b) Låt \varphi =0. Finns det sådana koefficienter s,t\in \mathbb{R} att \bar{i}-\bar{j}=s\bar{a}+t\bar{b}

___________________________________________________________________________

Vi tar den teoretiska delen först och kontrollerar sedan.

Vektorerna är vinkelräta om vardera vektorn är olika nollvektorn och deras deras punktprodukt är noll. Vi undersöker punktprodukten:

\bar{a}\cdot \bar{b}=\left[ (\cos \varphi -2\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi +2\cos \varphi )\bar{k} \right]\cdot \left[ (\cos \varphi +\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi -\cos \varphi )\bar{k} \right]

=(\cos \varphi -2\sin \varphi )\cdot (\cos \varphi +\sin \varphi )+1+(\sin \varphi +2\cos \varphi )\cdot (\sin \varphi -\cos \varphi )

={{\cos }^{2}}\varphi +\cos \varphi \sin \varphi -2\sin \varphi \cos \varphi +2{{\sin }^{2}}\varphi +1+{{\sin }^{2}}\varphi -\sin \varphi \cos \varphi +2\cos \varphi \sin \varphi -2{{\cos }^{2}}\varphi                                                         1 p

=1-{{\sin }^{2}}\varphi -{{\cos }^{2}}\varphi =1-({{\sin }^{2}}\varphi +{{\cos }^{2}}\varphi )=1-1=0                                                                        1 p

Vektorerna är alltså vinkelräta.                            1 p

Up9L_1

b)

Vi väljer nu \varphi =0 vilket ger:

\begin{array}{l}\bar{a}=(\cos 0-2\sin 0)\bar{i}+\bar{j}+(\sin 0+2\cos 0)\bar{k}=\bar{i}+\bar{j}+2\bar{k}\\\bar{b}=(\cos 0+\sin 0)\bar{i}+\bar{j}+(\sin 0-\cos 0)\bar{k}=\bar{i}+\bar{j}-\bar{k}\end{array}         1 p

Sedan väljer vi s,t\in \mathbb{R} och

\begin{array}{l}s\bar{a}+t\bar{b}=s\left( \bar{i}+\bar{j}+2\bar{k} \right)+t\left( \bar{i}+\bar{j}-\bar{k} \right)=\\(s+t)\bar{i}+(s+t)\bar{j}+\left( 2s-t \right)\bar{k}\end{array}

Sedan undersöker vi villkoret s\bar{a}+t\bar{b}=\bar{i}-\bar{j}

Vi har alltså:

\left\{ \begin{array}{l}s+t=1\\s+t=-1\\2s-t=0\end{array} \right.

1 p

vilket saknar lösning (de två första ekvationerna kan inte gälla samtidigt).

De sökta talen s och t existerar inte.                     1 p

U9L_3_edited-1

Kontrollen kan givetvis ske på andra sätt också!

 

Vektorer på graf- eller geometriskärmen

Vekorer kan ritas ut. Det finns begänsningar dock. En ritad vektor är inte ett matematiskt objekt.

Vi ska studera ett exempel:

Med translationsoperationen kan t.ex. vektorn från (1,1) till (4,5) flyttas till till punkten (3,-6). Då hittar vi parallellogrammens fjärde hörn.

Vi definierart några vetorer till:

Här ser vi diagonalernas skärningspunkter.

Det finns alternativa metoder. Vi kan också räkna:

Grundberäkningar med vektorer

Vi ska här se på några operationer med vektorer.

Catalog-tangenten ger några andra vektoroperationer (som kan skrivas in för hand om man minns dem)

Ett litet problem är att absolutbeloppet (storleken) av en vektor inte finns som ett eget kommando direkt på menyn, men:

 

Vad kan man göra med dessa kommandon? Mera om detta i andra inlägg.