Talföljder – ett enkelt exempel

Vanligen ritar man ut funktionsgrafer i ett kartesiskt koordinatsystem. Det finns andra möjligheter. Vi ska här undersöka en rekursiv talföljd, där varje talvärde beräknas utgående från det föregående. Vi tar ett exempel:

Antag att en skog består av 20 000 träd. Varje år hugger man bort 5 % av träden och planterar 300 nya trädplantor. Hur utvecklas skogspopulationen. Inga andra faktorer antas inverka på trädens antal.

Vi startar en grafskärm och gör valet Talföljder:

TF1TF2

På högra bilden ser man hur inmatningen sker. Termerna benaämns här u(n), där n är termens ordningstal. Varje term är alltså föregående term multiplicerat med 0.95 plus 300 plantor. Ett tryck på ENTER visar ingenting, men vi provar följande Fönsterinställningar:

TF3TF4

Där ser vi hur populationen utvecklas!

Annonser

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 5

 

 

a)

Vi undersöker talföljden {{a}_{n}}=3+4n närmare. Vi beräknar skillanden mellan två på varandra följande termer:

\begin{array}{l}{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=3+4(n+1)-(3+4n)=\\=3+4n+4-3-4n=4\end{array}

Eftersom skillnaden mellan termerna är konstant, rör det sig om en aritmetisk talföljd.

Skillanden kan uttryckas som d={{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=4                              1 p

Vi beräknar första och sista termen i uppgiftens summauttryck:

\begin{array}{l}{{a}_{0}}=3+4\cdot 0=3\\{{a}_{22}}=3+4\cdot 22=91\end{array}

Antalet termer är n = 22 – 0 + 1 = 23                                                                              1 p

Vi beräknar summan:

{{S}_{n}}=\frac{n({{a}_{1}}+{{a}_{n}})}{2}=\frac{23(3+91)}{2}=1081

Svar: Summan är 1081                                                                                                       1 p

KONTROLL:

Man kan kontrollera resultatet direkt:

 

Om man vill undersöka talföljden ytterligare, finns flera alternativ. Vi kan t.ex. se på termerna:

 

b)

Vi undersöker först två på varandra följande termer och beräknar deras kvot:

\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{{{(-3)}^{n+1}}}{{{(-3)}^{n}}}={{(-3)}^{n+1-n}}=-3

Kvoten är konstant. Vi har alltså en geometrisk serie med förhållandet

q=\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=-3

mellan två på varandra följande termer.                                                     1 p

Första termen: {{a}_{2}}={{(-3)}^{2}}=9

Antalet termer i summan: n = 15 – 2 + 1 = 14                                             1 p

Då får vi summan: {{S}_{n}}=\frac{{{a}_{2}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}=\frac{9(1-{{(-3)}^{14}})}{1-(-3)}=-10761678

Svar: Summan är -10761678                                                                           1 p

KONTROLL:

Några möjligheter: