SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 2

2.

a)

Vi börjar med en snabb kontroll:

Vi ser alltså att uttryckets definitionsmängd är x är olika noll och att svaret ser ut att vara 4. Steg:

Klappat och klart!

Möjlig bedömning:

{{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}=       1 p

{{x}^{2}}+2+\frac{1}{{{x}^{2}}}-\left( {{x}^{2}}-2+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=4    1 p

b)

Kontroll:

Definitionsområde: x olika -3. Resultat: x – 3

Stegen:

De två sista raderna visar hur man kan kontrollera att man resonerat rätt.

Möjlig bedömning:

\frac{{{x}^{2}}-9}{x+3}=\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}=         1 p   (kvadrering av ett binom)

=x+3                                                                                 1 p

c)

Lite större utmaning den här gången! Räknaren ger inte nödvändigtvis direkt ett vackert svar!

Vi börjar med beräkningarna och slutar med en kontroll! Vi använder formeln

\ln \left( \frac{a}{b} \right)=\ln (a)-\ln (b) flitigt!

Möjlig bedömning:

Definitionsmängd: x>0

\ln \frac{x}{2}+\ln \frac{{{e}^{x}}}{x}+\ln 2=\ln x-\ln 2+\ln {{e}^{x}}-\ln x+\ln 2        1 p

=\ln {{e}^{x}}=x                                                                                                               1 p

Kontroll:

Bra! Nåja! Man visserligen konstatera att \ln (x)+\ln \left( \frac{1}{x} \right)=\ln \left( x\cdot \frac{1}{x} \right)=\ln (1)=0, men det sker inte per automatik! Återstår att experimentera sig fram. Några möjligheter:

Räknaren klara inte av detta enkelt. Man behöver egen kunskap.

Ett alternativt sätt at kontrollera resultatet, är en grafisk kontroll:

Om man ritar ut linjen f(x) = x, har vi samma graf då x är större än noll.

Annonser

Studentexamen i lång matematik våren 2012 – uppgifterna 10-15

a)

Vi börjar med lite resonemang på räknarskärmen (vinkelmått RADIANER):

Ser bra ut!

Vi kan också kontrollera resultatet grafiskt:

b)

Stämmer (efter teckenändring).

Vi har nu två alternativ:

Svaren är alltså x = +- pi/3 + n*2pi och x = n*2pi

Vi kontrollerar än en gång på olika sätt:

I det här exemplet har räknaren inte använts aktivt, utom i sista steget. Exemplet visar ändå att räknaren kan användas för att följa med ett resonemang, lagra det för eget bruk, eller använda det för demonstration.

a)

Om d12=2 uppfylls villkoret.

b)

c)

Lösningen är inte den elegantaste möjliga, men svaret är d3 = 8

Här demonstreras kort Newtons lösningsmetod:

Innan vi startar, kan en snabb kontroll vara motiverad:

Sedan till den numeriska lösningen:

Första skärningspunkten är alltså: (-0,89;1,89)

De två andra bestäms motsvarande med t.ex. gissningarna x1 = 1 och x1 = 4

a)

b)

c)

Det kan vara skäl att kontrollera en aning:

Den visuella granskningen ser lovande ut!

a)

Vi kan på bilden rita in en rätvinklig triangel, med kateterna d och r2-r1. Hypotenusan i de är h=r2+r1.

b)

Vi kallar den tredje cirkelns radie r3 och konstruerar lite:

c)

De två leden är uppenbart lika!

Studentexamen i lång matematik våren 2012 – uppgifterna 7-9

Vi utnyttjar nu räknarskärmen och jobbar oss igenom uppgiften stegvis. Observera hur funktionen definieras (med define och vanligt likamedstecken). Observera också att du måste mata in multiplikationstecken (”gånger”) i funktionen!

Det faktum att funktionen går genom punkten (0,1/t), ger oss ett värde på c:

Nu vet vi c. Sedan deriverar vi:

Vi utnyttjar nu tangeringtspunkten med x-axeln:

Vi har nu a och c definierade som funktioner av t. Återstår alltså b och hela funktionen:

Här är svaret på a)-fallet!

Sedan integrerar vi:

Den bestämda integralen leder till numeriska värdet 1/3 , vilket är oberoende av t.

a)

Vi börjar med en snabb grafisk kontroll:

Här ser man att 50%-gränsen uppnås på ca 11 dygn, samt att funktionen verkar vara strängt växande, vilket dock bör bevisas.

En noggrannare analys görs nu med grafskärmen. Observera att uträkningar gör i kommentarform. Ingenting beräknas automatiskt denna gång. Slutkontroll är ändå möjligt att utföra!

I den sista rutan kontrolleras resultatet!

b)

Nu deriverrar vi:

Kan man kontrollera detta? Ett sätt är att flytta sig uppåt med kursorn och måla uttrycket (Shift-knappen intryckt och kursorhjulet). Sedan trycker man på Ctrl-C (kopiera). Tryck på Enter.

Man kan ibland bli tvungen att trycka på Ctrl-V (klistra in), speciellt om man vill klistra in någonting i ett längre uttryck.

Räknaren utvecklar uttrycket till en något jobbig numerisk form, men…

Den direkta deriveringen visar att vårt resonemang håller streck!

Nämnaren i rutan ovan är alltid positiv, vilket innebär att hela funktionen alltid antar positiva värden. Då är f(t) strängt växande (vilket i detta fall speciellt gäller då t>0!

c)

Vi ska undersöka gränsvärdet för f(t) då  t går mot oändligt.

Vi tar det i två steg:

Vi har nu beräknat och lagrat ett värde för h. (Lagring sker med sto eller Ctrl-var).

Ringens area blir slutligen:

Arean är alltså ca 68 kvadratcentimeter.

Studentexamen i lång matematik våren 2012 – uppgifterna 4-6

Vi löser problemet på Anteckningar-skärmen:

Vår vektor är alltså: a = 2i + 3j +- 3k

Vi börjar med en grafisk kontroll, för att kartlägga vart vi är på väg:

Sedan till Anteckningar:

Derivatans nollställe är ett maximum, vilket kan fastställas via prövning!

Maximumvärdet är alltså 1/e eller ca 0,368

Vi använder Anteckningar. De olika spelarnas målsannolikheter skrivs in och sannolikheten för åtminstone ett mål beräknas.

P(åtminstone ett mål) = 1 – P(inget mål)

För att beräkna väntevärdet för antalet mål, krävs att vi vet sannolikheterna för exakt 0 mål, ett mål osv. Vi beräknar dessa:

Väntevärdet är alltså ca 1,94 eller ca 2 mål!

Studentexamen i lång matematik våren 2012 – uppgifterna 1-3

Här presenteras lösningsförslag till uppgifterna. De är INTE avsedda att vara fullständiga lösningar, utan bara några förslag och exempel på hur CAS kan utnyttjas.

Ingenting konstigt i a)-fallet. Kontroll kan göras direkt via grafskärmen.

I b)-fallet kan man använda skärmen ”Anteckningar” och undersöka delsteg. Om man bara skriver text, lagras den som sådan. Med kommandot Ctrl-M kan man aktivera matematikrutor. Då kan man göra beräkningar på Anteckningar-skärmen. Observera hur man tilldelar funktionerna sina värden på denna skärm. Likamedstecken (=) har ersatts av :=

I c)-fallet väljs Anteckningar igen:

Här har varje steg kopierats med Ctrl-C och klistrats in i parenteser med Ctrl-V. I parenteserna kan beräkningar utföras med hela uttrycket!

De tre första fallen kan kontrolleras direkt.

I c)-fallet kan regeln ln(a)+ln(b) = ln(ab) användas. Kontroll:

I d)-fallet kan teorin cos(x)=cos(x+2*pi) testas (på Anteckningsskärmen):

e)-fallet kan också delundersökas:

liksom f)

Det finns flera lösningsmöjligheter. Vi kan konstruera vektorer längs triangelns sidor och konstatera vinkelrätheten via punktprodukten (= 0 för  vinkelräta vektorer, olika nollvektorn). Vi kan mäta längden på triangelns sidor och använda Pythagoras sats osv.

Vi jobbar här med vektorer på Anteckningsskärmen: