En rolig egenskap hos ett polynom av fjärde graden!

Det följande har bloggaren inte hittat på. Lärde mig saken av min rikssvenske kollega Bengt Åhlander.

Vi ska se på ett polynom av fjärde graden med fyra reella nollställen. Vi kan ta exemplet nedan.

P€_1

Sedan markerar vi inflexionspunkterna (andra derivatans nollställen). I dessa ”ändras grafens krökningsriktning”. Wikipeda gärna för mera information!

P€_2

P€_3

Nu drar vi en linje genom dessa inflexionspunkter och markerar de övriga skärningspunkterna mellan linjen och grafen:

P€_4

Sedan mäter vi avståndet mellan skärningspunkterna som bilden visar (det kan löna sig att sätta in segment mellan punkterna och mäta dessa!)

P€_5

Nu till det intressanta. Vi markerar segmentens längder med variabelnamn och beräknar förhållandet mellan längderna!

P€_6

Hoppsan! Det ser ut som om förhållandet är det gyllene snittet! (Behandlas i andra inlägg i denna blogg).

Är det här en universell egenskap?? Kan läsaren bevisa saken?

 

Annonser

Ett lustigt polynomproblem

För vilket polynom P(x) av åttonde graden gäller P(k)=1/k för k =1, 2, … , 9.

Diplomingenjören och blivande kollegan Edward Krogius visade det här roliga problemet åt bloggaren på Facebook. Han hade vänligheten att bifoga en lösning också. det tackar man för!

Eftersom mången läsare möjligen håller på att slipa sina matematiska färdigheter (det gör bloggaren som är fysiker också) tar jag mig friheten att presentera ett enklar problem, för att demonstrera lösningens logik.

Vi undersöker först för vilket polynom av ANDRA graden villkoret P(k)=1/k gäller för k = 1, 2 och 3.

Om villkoret P(k)=1/gäller, bör vi ha: kP(k) = 1 eller med andra ord kP(k) – 1 = 0

Vi definierar då polynomet Q(x) = xP(x) – 1.

Sedan använder vi faktorsatsen: xP(x) – 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) , vilket vi har en möjlighet att utveckla, med eller utan CAS! Först får vi: xP(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)+1 och sedan:

P(x)=\frac{a(x-1)(x-2)(x-3)+1}{x}

Vi utvecklar lite:

P(x)=a{{x}^{2}}-6ax-\frac{6a-1}{x}+11a

Snabbkontroll:

EK1

Verkar bra!

Om vi nu vill att P(x) ska vara ett POLYNOM, bör vi dessutom kräva att termen med x i nämnaren är noll:

\frac{6a-1}{x}=\frac{3!a-1}{x}=0

Det leder till a = 1/3!

Hela polynomet är nu P(x)=\frac{1/3!\cdot (x-1)(x-2)(x-3)+1}{x}

eller P(x)=\frac{1}{6}{{x}^{2}}-x+\frac{11}{6}

Då återstår lite kontroll:

EK2

EK3

SEGER! Det lyckades. Man måste bara förstå faktorsatsen och sedan pyssla lite!

Den här lättare uppgiften kunde fungera som en provuppgift utan CAS. Hur är det med en ursprungliga?

Det är ytterst jobbigt att för hand utveckla ett sådant polynom. Bra CAS-uppgift alltså. Det gäller tt förstå PRINCIPEN, inte att manipulera siffror som en robot!

Vi definierar nu polynomet: Q(x)=a(x-1)(x-2)…(x-9)=xP(x)-1

Eftersom Q(x) är ett polynom, ska vi igen kräva att 1+9!a = 0, eller a = 1/9! (Experimnetera gärna med räknaren).

Vi borde då få ett polynom för vilket villkoret i texten gäller:

P(x)=\frac{1/9!\cdot (x-1)(x-2)\cdot ...\cdot (x-9)+1}{x}

Vi ska inte utveckla detta manuellt. Kolla det ska vi!

EK4

EK6

EK7

Jo jo!