Poisson-fördelningen

I skolkurserna får man kanske en felaktig bild av sannolikhetsfördelningar. Man behandlar normalfördelningen, vars fördelningsfunktion är vackert symmetrisk. I verkliga världen är läget ofta ett helt annat. Vi tar här en liten titt på Poisson-fördelningen. Ingen större teorigenomgång! Material finns t.ex. på Wikipedia.

Anta att en kiosk har i medeltal 25 kunder per timme. Vilken är sannolikheten för att det till kiosken kommer åtminstone 30 kunder per timme (betyder 30 eller flera)?

Problemet ovan kan lämpa sig för analys via Poisson-fördelning. Vi har EN parameter, medeltalet 25 kunder per timme, som samtidigt är väntevärdet. Vi måste vidare anta att händelserna (kunderna anländer till kiosken) är oberoende av varandra. Fördelningen är vidare diskret. Antalet kunder per tidsenhet är ett heltal.

Vi säger att slumpvariabeln X har en Poisson-fördelning med parametern λ (större än noll) om värdemängden är k = 0,1,2,3,…. och

P(X=k)={{e}^{-\lambda }}\frac{{{\lambda }^{k}}}{k!}

Räknaren har färdiga rutiner för detta! Vi går via menu-tangenten på räknarskärmen

Här räknades sannolikheten för exakt 30 kunder. Kommandot poissPdf(λ,k) anger alltså sannolikheten för de enskilda fallen i fördelningen (p för punktsannolikhet??).

En kanske intressantare situation är den kumulativa fördelningen. Vi testar:

 

Nu har vi sannolikheten för högst 29 kunder per timme. Komplementet är åtminstone 30 kunder per timme.  vi räknar vidare:

 

Ca 18% alltså.

Hur ser fördelningen ut grafiskt?

Fördelningen ser nästan symmetrisk ut. Man kunde tro att det här är en normalfördelning. Orsaken är att 25 kunder per timme ligger långt ifrån minsta antalet möjliga, 0 kunder. En övre gräns finns teoretiskt sett inte. Hur går det om vi minskar antalet kunder per timme? Vi väljer talvärdet 5 i stället för 25.

 

Nu ser det annorlunda ut!

Den observanta läsaren inser säkert att det här är en viktig fördelning inom fysik och teknik. Radioaktivt sönderfall, serviceintervall av apparater och annat kan undersökas via Poissonfördelningen. Borde ingå i gymnasiekurserna!!!

Annonser