SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 7

7.

Enligt en modell (R. MacArthur & E. O. Wilson, 1967) beror antalet fågelarter n som häckar på en ö av öns area A ungefär enligt formeln n = kAb, där k och b är positiva konstanter som är beroende av ön.

a) Utgående från observationer har man kunnat fastställa följande värden för två kanariska öar:

n1 = 20,     A1 = 10,2 km2      (Alegranza)

n2 = 6,       A2  = 0,0158 km2 (Roque del Oeste)  

Använd dessa data för att bestämma konstanterna k och b med tre gällande siffror.
Gör en uppskattning av antalet fågelarter som häckar på ön La Palma (A = 708 km2) med hjälp av modellen.

Vi tar teorin först och kontrollen sedan:

a)

Utgående från texten vet vi:

20=k\cdot {{10,2}^{b}} och 6=k\cdot {{0,0158}^{b}}       1 p

Vi kan t.ex. fortsätta med att lösa k ur den första ekvationen:

20=k\cdot {{10,2}^{b}}    division med {{10,2}^{b}}

k=\frac{20}{{{10,2}^{b}}} vilket insätts i en andra ekvationen:

6=\frac{20}{{{10,2}^{b}}}\cdot {{0,0158}^{b}}=20\cdot {{\left( \frac{0,0158}{10,2} \right)}^{b}}  vilket dividerat med 20 ger

\begin{array}{l}6=\frac{20}{{{10,2}^{b}}}\cdot {{0,0158}^{b}}=20\cdot {{\left( \frac{0,0158}{10,2} \right)}^{b}}\\{{\left( \frac{0,0158}{10,2} \right)}^{b}}=\frac{6}{20}\end{array}

Vi beräknar naturliga logaritmen för ovanstående:

\begin{array}{l}b\ln \left( \frac{0,0158}{10,2} \right)=\ln \frac{3}{10}\\b=\frac{\ln \frac{3}{10}}{\ln \left( \frac{0,0158}{10,2} \right)}\approx 0,18608\end{array}         1 p

Insättning i den första ekvationen ger nu vidare:

\begin{array}{l}20=k\cdot {{10,2}^{0,18608}}\\k=\frac{20}{{{10,2}^{0,18608}}}\approx 12,98\end{array}

Svar: k = 13,0 och b = 0,186                                                                      1 p

b)

Nu har vi

\begin{array}{l}A=708\ \text{k}{{\text{m}}^{2}}\\n\approx 12,982\cdot {{708}^{0,18608}}\approx 44,024\\\end{array}                                         1 p

Svar: La Palma kan antas ha 44 häckande fågelarter                              2 p

Sedan till kontroll med räknaren!

Vi börjar med en grovkontroll:

U7L1

U7L2

U7L3

Man kan försöka sig på att kontrollera räknestegen här, men räknaren har en tendens att förenkla logaritm- och potensuttryck, vilket gör att ”stegen” kan se en aning oväntade ut!

Annonser

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 3

3.

a)

Vi börjar med det som bör antecknas för poäng:

\begin{array}{l}f(x)=x{{(x+2)}^{2}}\\=x(x+2)(x+2)\\=x({{x}^{2}}+4x+2)\\={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x\end{array}

Sedan deriverar vi:

{f}'(x)=3{{x}^{2}}+8x+4                                          1 p

Till slut har vi i punkten x = 0:

{f}'(0)=3\cdot {{0}^{2}}+8\cdot 0+4=4                1 p

Kontrollmöjligheter? det finns flera!

Vi börjar med att utveckla lite och sedan deriverar vi:

b)

Man kan lösa problemet på olika sätt.

Förslag 1:

\begin{array}{l}{{2}^{3x+1}}=32\\{{2}^{3x+1}}={{2}^{5}}\\3x+1=5\\x=\frac{4}{3}\approx 1,33\end{array}                                                           1 p

Förslag 2:

(Den här metoden är kanske att förslå i det allmänna fallet)

\begin{array}{l}{{2}^{3x+1}}=32\quad \parallel \lg ()\\\lg ({{2}^{3x+1}})=\lg 32\\(3x+1)\cdot \lg 2=\lg 32\\3x+1=\frac{\lg 32}{\lg 2}=5\\3x+1=5\\x=\frac{4}{3}\approx 1,33\end{array}

1 p

Kontroll!

På den senare bilden löser vi delvis via ett delresultat, delvis genom den ursprungliga ekvationen. Andra möjligheter finns säkert!

c)

{{\log }_{4}}(3x)=3      Här utgår vi från logaritmens definition 1 p

\begin{array}{l}{{\log }_{4}}(3x)=3\\{{4}^{3}}=3x\\3x=64\\x=\frac{64}{3}\approx 21,33\end{array}

1 p

Kontroll:

Direkt: