Kvadratkomplettering

Konsten att lösa ekvationer av andra graden, bygger långt på att man känner till ”formeln”! En ekvation av typen

a{{x}^{2}}+bx+c=0

har lösningen

x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}

Härledningen av detta är en sak för sig, som ska tas upp i ett annat inlägg.

En alternativ lösningsmetod är kvadratkompletteringen. Den bygger på kvadratformeln:

{{(a\pm b)}^{2}}={{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}

Vi ska se på ett exempel:

Anta att {{x}^{2}}-4x+4=0

Vi kan utnyttja regeln och skriva om uttrycket som: {{(x-2)}^{2}}=0

Nu är det lätta lösa uttrycket via faktorisering: (x-2)(x-2)=0

Vi har alltså en dubbelrot: x=2

Allt bra så långt, men hur går det t.ex. i fallet:

{{x}^{2}}-x-6=0

Problemet är att vi inte direkt kan utnyttja kvadratformeln för att faktorisera. Nu kan vi i stället kvadratkomplettera:

Vi utgår från att {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}

Det här påminner en del om {{x}^{2}}-x-6

Det är så att säga siffertermen som är fel! Den borde vara 1/4men är nu -6. Vi skriver därför om en aning:

{{x}^{2}}-x-6+\frac{25}{4}=0+\frac{25}{4}

och bearbetar:

{{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}

{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4}

x-\frac{1}{2}=\pm \frac{5}{2}

Nu ser vi två lösningar skymta:

x = -2 och x = 3

Detta ska kontrolleras:

Lösningen stämmer. Kvadratkomplettering underlättas av kommandot completeSquare. Man får ett bra förslag om hur det hela går till här.

I mera invecklade fall, som t.ex. involverar kvadratrötter i delstegen, kan kommandot verkligen bli nyttigt!

Annonser