SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 7

7.

Den tyske astronomen Johannes Kepler (1571 – 1630) upptäckte sambandet mellan en planets avstånd från solen och dess omloppstid. Låt symbolen x beteckna en planets omloppstid och låt symbolen ybeteckna dess avstånd från solen. Nedanstående tabell innehåller omloppstiden i år för de fem planeter som ligger närmast solen och deras avstånd från solen med den astronomiska enheten som mått.
2012-12-03 15-29-23 +00001

a)
Kopiera tabellen på ditt svarspapper och fyll i de värden som saknas med tre decimalers noggrannhet 
b)
Vilken är Keplers formel för avståndet y uttryckt med hjälp av omloppstiden x
c)
Saturnus har en omloppstid på 29,457 år. Hur långt från solen befinner sig Saturnus?

Vi tar teorin och kontrollen med räknaren lite om varandra här:

a)

Tabellen kan fyllas i direkt med hjälp av räknaren utan större problem:

2012-12-02 17-22-47 +00001

2 p

Kan man kontrollera detta på räknaren. Vi skriver in data i ett kalkylark:

U7K1U7K2

Här föreslås rubriker och planeternas namn skrivs in. Observera att listan måste skriva på fel led.

U7K3U7K4

I kolumnens kommandoruta matas ett likamedstecken in, följt av tredjeroten av kolumnen x. Frågerutan om kolumn- eller variabelreferens, besvaras med vaiabelreferens. Upprepa för y och roten av y:

U7K5

Här ser vi listorna.

Det finns en kontrollmöjlighet till. Vi kan ta den på Anteckningar-skärmen

U7K6

b)

Man kan avläsa MAOLs tabeller och konstatera att

\sqrt{y}=\sqrt[3]{x}                                                                1 p

eller

y=\left( \sqrt[3]{x} \right){}^{2}={{x}^{\frac{2}{3}}}             2 p

c)

Vi har x = 29,457. Enligt b-fallet har vi då:

y=\left( \sqrt[3]{29,457} \right){}^{2}\approx 9,538          2 p

Annonser

Keplers tredje lag

Keplers lagar behandlas kort i kursen 5 i fysik i våra gymnasier. Den första och den andra lagen är lätta att förstå. Den tredje ser en aning knepigare ut. Här följer ett försök att åskådliggöra den.

Vi börjar med att söka upp data för planeterna i solsystemet. Här används standarduppslagsverket i Finlands skolor, MAOLs tabeller. Vi startar en kalkylarks-skärm och fyller i:

r – medelavstånd från solen, uttryckt i miljoner km; t – sideriska omloppstiden i år

Den sideriska omloppstiden mäts i relation till stjärnornan och inte i relation till jorden som rör på sig och roterar. Denna omloppstid är därför den ”riktiga”.

Textinmatning sker med sitationstecken!

När inmatningen är klar, väljer vi att låta räknaren anpassa en matematisk modell till dessa data:

Det är långt ifrån självklart vilken modell som passar bäst. I praktiken fungerar tre modeller oftare än andra inom fysiken, den linjära modellen, exponentialregressionen och potensregressionen (som det nu kallas i översättningen). Man kan prova sig fram, men vi gör det kort här och väljer enligt bilden:

Här ser vi ett sätt att kontrollera resultatet! Om korrelationskoefficienten r (som inte riktigt ses på bilden, medan r^2 gör det). Ju närmare 1 eller -i r ligger, desto bättre fungerar modellen. Om r går mot 0, är modellen uslig. Mera om detta i andra inlägg.

Nu är r i praktiken lika med 1. Perfekt modell alltså!

Vi ska undersöka den lite närmare:

Vi börjar med en snabb kontroll;

På statistikskärmen ser man planeterna utplacerade med avståndet på x-axeln och omloppstiden på y-axeln. Potensfunktionen testas. Vi ”träffar” uppenbart planeterna!

Här visas modellen på grafskärmen. Samtidigt har funktionens parametrar avrundats till hanterligare värden. Vi ska nu undersöka dessa!

Vi väljer en räknarskärm:

Vi putsar upp f1(x) en aning och uttrycker 1,49999 som 3/2. Sedan kvadrerar vi uttrycket och konstaterar att ”kvadraten på medelavståndet till solen är proportionell mot kuben på omloppstiden”, vilket under bloggarens gymnasiestudier stod skrivet i läroboken i HISTORIA! Jag frågade läraren vad det betyder. ”Vet inte, men det är säkert viktigt eftersom det står där”, blev svaret. Två gånger korrekt alltså!

Vi ska se vad man göra med lagen!

Vi väljer en asteroidtabell (MAOL).

Asteroiden Juno har medelavståndet 401 miljoner km från solen.

Den sideriska omloppstiden är då ca 4,4 år! Stämmer bra med tabellen.

Att räkna i ”andra riktningen” är ännu viktigare:

Iris har sideriska omloppstiden 3,68 år.

Medelavståndet från solen är alltså ca 360 miljoner km.

Hur viktigt speciellt det senare resultatet är, borde vara lätt att förstå. Det är rätt så enkelt att från jorden bestämma en omloppstid! I och med Keplers tredje lag kunde man då beräkna avstånd inom solsystemet!!!

Lagen innebar att man fick en hygglig måttstock på solsystemet. Om ett avstånd mättes pålitiligt, kunde andra avstånd beräknas. Under äldre tider var detta en utmaning, men idag kan avstånd mätas direkt med t.ex. radar- eller laserteknik.