Hur kan jag undersöka inversa funktioner

Exempel: (Provuppgift 1. i kursprov, MAA8, Brändö gymnasium)

a) Visa att funktionen f(x)={{e}^{2x}}+1 har en invers funktion.

b) Bestäm {{f}^{-1}}(x) och ({{f}^{-1}}{)}'(2)

c) Ange definitions- och värdemängderna för f(x) och {{f}^{-1}}(x)

_________________________________________________________________________

Vi provar oss på några knep och konster här, utan anspråk på en perfekt lösning. I Slutet på inlägget finns en länk till en videodemonstration.

a)

Om funktionen f(x) ska ha en invers funktion, måste den vara en ijektiv funktion. Här räcker det med att visa att den är monoton:

INF1

Derivatan är en strängt växande funktion (Nepers tal e > 1). Funktionen har en invers funktion.

b)

Vi ska försöka beräkna den inversa funktionen (vilket inte alltid är en enkel uppgift). Vi skriver om funktionen i ekvationsform, löser ut x och gör ett variabelbyte:

inf2

Funktionerna f1(x) och f2(x) torde nu vara varandras inversa funktioner. Det finns en kontrollmöjlighet. Om vi i det här skedet frånser definitions- och värdemängder, borde följande gälla: (f1\circ f2)(x)=(f2\circ f1)(x)=x

En snabb kontroll:

INf3

Verkar bra!

Nu återstår att beräkna ett steg till. Vi deriverar den inversa funktionen och beräknar vidare denna derivatas värde då x = 2

inf4

Här ser vi både derivatan av den inversa funktionen och det sökta värdet.

c)

Nu återstår definitions- och värdemängderna. En grafisk analys ger ett hum om saken. Vi ska ändå börja med doamin-kommandot, som ger defintionsmängderna:

inv5

Den ursprungliga funktionen är alltså definierad för alla reella x. Den inversa funktionen, som ju omfattar en logaritm, har defintionsmängden x > 1.

Sedan tar vi en bild:

invf6

Den ursprungliga funktionen antar alla värden större än 1 medan den inversa funktionen antar alla reella värden. Det första är uppenbart. Det senare kunde kräva något ytterligare argument.

Här följer en videodemonstration av några arbetsmöjligheter.

Annonser