SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 6

6.

Beräkna arean av det begränsade området mellan parabeln {{y}^{2}}=4x och linjen 4x-3y=4. Ange det exakta värdet och ett närmevärde med två decimaler.

Vi börjar med att bestämma skärningspunkterna mellan linjen och parabeln. Vi har

\left\{ \begin{array}{l}{{y}^{2}}=4x\\4x-3y=4\end{array} \right.

Vi substituerar den första ekvationen i den andra:

\begin{array}{l}{{y}^{2}}-3y=4\\{{y}^{2}}-3y-4=0\\y=\frac{3\pm \sqrt{{{(-3)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 5}{2}\end{array}

Vi får rötterna y = -1 och y = 4

Motsvarande x-koordinater: (Vi väljer linjens ekvation i formen x=\frac{3}{4}y+1)

y = -1:      x=\frac{3}{4}\cdot (-1)+1=\frac{1}{4}  ; Skärningspunkten: (1/4,-1)

y = 4:       x=\frac{3}{4}\cdot 4+1=4                     ; Skärningspunkten: (4,4)

                                                                                                                       1 p

Avbildning:

Linjens ekvation: y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}

Parabeln ekvation kan skrivas som x=\frac{1}{4}{{y}^{2}}

Värdetabeller kan ställas upp via dessa uttryck.                                    1 p

                                                                                             1 p

(Vi återkommer till hur bilden konstruerats)

Arean kan beräknas med hjälp av en bestämd integral. En enkel metod är då att skriva både linjens och parabelns ekvationer i formerna:

\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}y+1\\x=\frac{1}{4}{{y}^{2}}\end{array}

alltså:

\begin{array}{l}f(y)=\frac{3}{4}y+1\\g(y)=\frac{1}{4}{{y}^{2}}\end{array}

I intervallet -1 ≤ y ≤ 4 är f(y) ≥ g(y):                                                    1 p

Vi integrerar:

\begin{array}{l}A=\int\limits_{-1}^{4}{\left( f(y)-g(y) \right)dy}\\=\int\limits_{-1}^{4}{\left( \frac{3}{4}y+1-\frac{1}{4}{{y}^{2}} \right)dy}\end{array}

1 p

\begin{array}{l}=\underset{-1}{\overset{4}{\mathop{/}}}\,\left( \frac{3}{8}{{y}^{2}}+y-\frac{1}{12}{{y}^{3}} \right)\\=\left( \frac{3}{3}\cdot {{4}^{2}}+4-\frac{1}{12}\cdot {{4}^{3}} \right)-\left( \frac{3}{3}\cdot {{(-1)}^{2}}-1-\frac{1}{12}\cdot {{(-1)}^{3}} \right)\\=\frac{125}{4}\approx 5,21\end{array}

Svar: Arean är 125/4 eller ca 5,21 areaenheter stor.                              1 p

Kontrollmöjligheter:

Vi börjar med bilden. Operativsystemet bör vara uppdaterat till version 3.2 för att detta ska lyckas! Vi börjar med att undersöka en ny avbildningsmöjlighet på grafskärmen. Ett tryck på Menu, ger följande möjligheter:

När graferna är ritade, kan vi ta reda på skärningspunkterna (menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 3-Skärningspunkter):

Integrationsdelen av uppgiften måste vi gör ”icke-grafiskt”, t.ex. direkt på räknarskärmen:

 

 

Våra tidigare resultat stämmer alltså.

 

 

Annonser

Integraler – grundläggande

Det finns ett antal olika sätt att beräkna en bestämd eller obestämd integral. Vi ska se på några möjligheter. Vi börjar med den obestämda integralen.

Via MENU-tangenten:

Observera att räknaren INTE automatiskt skriver ut en integrationskonstant!! Vill man ha med den, får man placera dit den själv:

Den bestämda integralen beräknas motsvarande:

Man kan också beräkna bestämda integraler på grafskärmen. Inmatning av integrationsgränserna är ett litet problem. Konsten att sätt dit dem ”exakt”, kan vara smått knepig. Här är ett förslag:  Rita ut funktionen. Placera sedan ut ett par punkter på x-axeln. Använd punkterna som integrationsgränser. Deras exakta positioner kan lätt förändras.

Om du nu dubbelklickar på punkternas x-koordinater, så att de blåfärgas eller hamnar inom en ram, kan du skriva om integrationsgänserna:

Ett närmevärde dyker (29,2) upp på skärmen.