En smårolig derivatauppgift med kontroll

Exemplet lyder så här:

En rektangel har ett hörnet i origo och två av sina sidor placerade på de positiva koordinataxlarna. Det diagonalt motsatta hörnet ligger på linjen 2x+y=100. Vilken är den största arean rektangeln kan få?

Låter som en derivatauppgift! Vi gör en snabb genomgång av den tekniska lösningen:

Vi löser först ut y ur linjens ekvation: y = -2x + 100 (där 0<x<50).

Sedan utvecklar vi ett uttryck för arean av rektangeln: A(x) = x*(-2x+100) = -2x^2 + 100x

Derivering: A´(x) = -4x + 100 med nollstället x = 25. Derivatans nollställe motsvarar ett maximum för funktionen A(x) (en parabel med toppen uppåt).

Största arean borde vara A(25) = -2*25^2+100*25 = 1250 areaenheter?

Saken kan kontrolleras på olika sätt. Väljer ett alternativ väl lämpat för demonstration här:

En fil med namnet RektangelDer.tns med material finns i Box-verktyget!

Mellan de olika arbetsmomenten, måste man hela vägen komma ihåg att trycka på Esc, när man klarat av ett delsteg!

Linjen har ritats ut och en godtycklig punkt placerats på den. Följande steg är att konstruera paralella linjer till koordinataxlarna genom punkten: (Menu, 8-Geometri, 4-Konstruktion, 2-Parallell)

Markera sedan skärningspunkterna mellan dessa paralleller och koordinataxlarna. Markera också koordinataxlarnas skärningspunkt, origo. (Menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 3-Skärningspunkter):

Nu har vi rektangelns hörn. Man kan rita in en rektangel på bilden, men det kan vara knepigt att ”fästa hörnen” på ett vettigt sätt. Vi väljer en annan metod. Placera in två segment, från origo till parallellernas skärningspunkter med koordinataxlarna (Menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 5-Segment). Mät sedan längden på segmenten (Menu, 8-Geometri, 3-Mätning, 1-Längd).

Vi har nu rektangelns bredd och höjd!

Nu följer det egentliga knepet. Vi lagrar de två mätresultaten med variabelnamnen h och b. Klicka på et av dem så att den gråmarkeras. Tryck sedan på tangenten var

Välj namnet h för höjden. Upprepa med bredden.

Placera sedan i en text med utseendet h*b någonstan på skärmen (Menu, 1-Åtgärder, 7-text):

Gråmarkera texten och völj beräkna (Menu, 1-Åtgärder, 9-Beräkna). Klicka på texten h*b och markera b och h.

Man kan grabba tag i punkten på linjen och flytta den av och an. Då ser man hur rektangelns area variera!

Saken kan också demonstreras på ett ytterligare sätt. Vi öppnar ett kalkylark i vårt dokument. Vi väljer rubriker på tre kolumner, t.ex.:

Gå nu till kommandoraden (den grå) i första kolumnen. Tryck på Menu och välj:

Välj namn enligt variabeln på grafskärmen:

Upprepa för höjden, men vänta med arean.

Lagra den beräknade arean t.ex. med namnet area. Det sker på samma sätt som b och lagrades tidigare.

Återvänd till kalkylarket och plocka in arean värde i de tredje kolumnen.

Gå nu tilbaka till grafen, grabba tag i koordinathörnet på linjen och för den av och an längs linjen ett antal gånger. Det som händer är att datapunkter automatiskt överförs till kalkylarket!

Nu ska vi avbilda detta. Öppna i samma dokument en statistikskärm:

Nu är vi nästan framme vid målet. Gå ner till texten ”Klicka för att lägga till variabel”. Placera bas på x-axeln och arean på y-axeln. Sedan får vi:

Vackert så!

Annonser

En besvärlig derivatauppgift

En kollega uppmärksammade mig på följande uppgift:

Derivera

Inte en uppgift för grundkursen i derivering precis! Kan vara bra att kontrollera med räknaren alltså. Problemet är vad som händer om man deriverar ”direkt”: Vi provar:

Knappast det svar en lärare skulle förvänta sig! Korrekt, men ur ”en mänsklig synvinkel” något överbearbetat. Hur kunde man få fram ett svar som ser ”prydligare ut”?

Vi experimenterar en aning:

Vad fick vi fram nu? Väsentligen en deriveringsregel! För derivatan av ett tal upphöjt i en funktion! Svaret ser inte så konstigt ut. Vi borde klara av att fylla i de olika termerna manuellt. Vi kan börja med att derivera f(x), bara för kontrollens skull:

Sedan provar vi fylla i för hand:

Vår sökta derivata borde vara uttrycket som markerats ovan. Räknaren ”förenklar” resultatet om man trycker på enter, men vi har en kontrollmöjlighet!

Ser bra ut alltså!

Den här uppgiften är ett bra exempel på mjukvarans begränsningar. Man får inte alltid ut det prydliga svar man tänkt sig. I det här fallet krävs en del bakgrundsarbete på gott och ont.

 

 

 

 

 

Derivatans definition som gränsvärde för en differenskvot

Vi antar att en funktion f(x) är definerad i ett intervall  \left] {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right[ och att {{x}_{0}}\in \left] {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right[.

Derivatan af funktionen f(x) i punkten {{x}_{0}} definieras som

\frac{df(x)}{dx}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

alternativt

\frac{df(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}{h}

Här refereras till läroboken i matematik för ytterligare detaljer. Observera också att derivatan kan betecknas på andra sätt än ovan, t.ex. f´(x) .

Vi tar ett exempel och börjar med anteckningar-skärmen:

Sedan fortsätter vi med räknarskärmen för jämförelsens skull: