Snells lag – en möjlig härledning

Här följer en liten betraktelse. Filen Snell finns lagrad i Boxen till vänster. Om verktyget inte fungerar, kan du bland länkar hitta DELADE FILER.

Man kan härleda Snells lag med t.ex. Huygens princip, men nu ska vi ta fasta på en annan metod. Vi utnyttjar Fermats princip, enligt vilken en ljusstråle färdas mellan två punkter längs den bana som ger kortaste färdtiden. På det sättet kan vi göra detta till en extremvärdesuppgift och derivera en aning! 15-02-2015 Skärmbild001 15-02-2015 Skärmbild002 15-02-2015 Skärmbild003 15-02-2015 Skärmbild004 15-02-2015 Skärmbild005

Annonser

Tangenten till en parabel genom en punkt

pt1

Detta problem är långt ifrån banalt. Man räknar lätt fel på vägen. Problemet är därför ett bra exempel på hur CAS kan utnyttjas effektivt.  Man måste känna till matematiken. Räknare hjälper med det praktiska! Vi kör med bildkapningar. Texten torde förklara resonemanget.

PT6PT8

 

Sedan kontrollerar vi (och använde datorskärmen för att vinna lite utrymme):

tp10

 

 

 

Derivering och motivering

Uppgift 6 i kursprov, MAA8, Brändö gymnasium, våren13

Motivera via uträkningar: ”Går tangenten i punkten x = 4 till kurvan y={{e}^{\sqrt{x}}} genom origo?

___________________________________________________________________________

Säg det!

Vi inleder med en grafisk kontroll:

MAA86_1

 

Nog ser tangenten ut att gå genom origo alltid, men en bild är inget bevis idessa sammanhang!

Vi tar en Anteckningarskärm (Nytt dokument) till hjälp:

MAA8_6_2

MAA8_6_2_3

MAA8_6_5

MAA8_6_6

 

En småknepig ekvation

Kollegan Edward Krogius är framme igen. Den här gången ber han bloggaren att en dust med ekvationen

\begin{array}{l}{{2}^{a}}(4-a)=2a+4\\\end{array}

Vi ska söka lösningar dels för alla hela tal, dels för alla reella tal.

_________________________________________________________________________________

Vi ska se vad räknaren säger vid en grovkontroll:

Kne1

OK. Sedan kollar vi grafiskt. (a bytes ut mot x)

kne2

Vi zoomar in en aning:

Kne3

Med lite god vilja kan man se svaren. Tydligen är de svar räknaren hittade de enda, men det borde väl bevisas. Vi undersöker ekvationen vänstra led. Vi väljer också att ersätta a med x.

INTEK1

INTEK2

Derivatan har ett nollställe och det motsvarar ett maximum. Vi betecknar {{x}_{0}}=\frac{4\ln 2-1}{\ln 2} och vidare g(x)=2x+4

Eftersom g({{x}_{0}})>f({{x}_{0}}) och g(x) är strängt växande, medan f(x) är strängt avtagande, har vi ingen lösning då x är större än {{x}_{0}}. Med ett motsvarande resonemang ser man att inga lösningar heller finns då < 0.

Samtliga lösningar på ekvationen bör alltså finnas i intervallet 0 ≤ x < x0. Hur många är lösningarna? Det kunde vara intressant att jobba vidare med funktionen f(x)={{2}^{x}}(4-x)-2x-4, men det låter vi bli en ”övningsuppgift”.

SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 5

5.

Bestäm det största och det minsta värdet av polynomet f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-15x+2 i intervallet \left[ 2,6 \right]

f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-15x+2

Derivering ger:

{f}'(x)=3{{x}^{2}}-12x-15                                                                 1 p

Derivatans nollställen:

\begin{array}{l}3{{x}^{2}}-12x-15=0\\\end{array}   vilket kan divideras med 3:

{{x}^{2}}-4x-5=0

x=\frac{4\pm \sqrt{{{(-4)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{16+20}}{2}=\frac{4\pm 6}{2}                                    1 p

Rötterna är: x = 5 och x = -1, men den senare ligger utanför intervallet \left[ 2,6 \right]   1 p

Polynomet f(x) är kontinuerligt i det undersökta intervallet och deriverbart i intervallet \left] 2,6 \right[, vilket innebär att polynomet i det slutna intervallet antar ett största och ett minsta värde i derivatans nollställen eller i intervallets ändpunkter.            1p

Kontroll:

\begin{array}{l}f(2)={{2}^{3}}-6\cdot {{2}^{2}}-15\cdot 2+2=-44\\f(5)={{5}^{3}}-6\cdot {{5}^{2}}-15\cdot 5+2=-98\\f(6)={{6}^{3}}-6\cdot {{6}^{2}}-15\cdot 6+2=-88\end{array}

Vi ser att -44 är det största och -98 det minsta värdet.

Svar: f(x) antar i intervallet  \left[ 2,6 \right]   största värdet -44 och minsta värdet -98              2 p

Kontroll med räknaren:

Också en grafisk kontroll kan vara bra:

Här har vi valt ”Fönsterinställningarna” så, att x-minimum = 2 och x-maximum = 6. Sedan kan man välja Anpassning under menyn för ”Fönsterinställningar” (smått fjantig term, men vad sjutton).

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 4

4.

a)

Parabeln skär x-axeln i de punkter där y = 0:

{{x}^{2}}-12x+35=0                                         1 p

\begin{array}{l}x=\frac{12\pm \sqrt{{{12}^{2}}-4\cdot 1\cdot 35}}{2}\\x=\frac{12\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{12\pm 2}{2}\end{array}

x = 5 eller x = 7                                                             1 p

Svar: Skärningspunkjterna är (5,0) och (7,0)           1 p

b)

Parabeln har sin topp vid derivatans nollställe. Vi deriverar alltså och söker nollstället:

\begin{array}{l}{y}'(x)=2x-12\\2x-12=0\\x=6\end{array}     1 p (derivatan) 1 p (nollst.)

Toppens y-koordinat är alltså:

y(6)={{6}^{2}}-12\cdot 6+35=-1

Svar: Toppens koordinater är (6,-1)                                                      1 p

Kontroll! Det finns många möjligheter:

 

Här var några steg. Vi kan också satsa på en grafisk kontroll:

Via menu-tangenten:

Och vidare:

 

 

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 3

3.

a)

Vi börjar med det som bör antecknas för poäng:

\begin{array}{l}f(x)=x{{(x+2)}^{2}}\\=x(x+2)(x+2)\\=x({{x}^{2}}+4x+2)\\={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x\end{array}

Sedan deriverar vi:

{f}'(x)=3{{x}^{2}}+8x+4                                          1 p

Till slut har vi i punkten x = 0:

{f}'(0)=3\cdot {{0}^{2}}+8\cdot 0+4=4                1 p

Kontrollmöjligheter? det finns flera!

Vi börjar med att utveckla lite och sedan deriverar vi:

b)

Man kan lösa problemet på olika sätt.

Förslag 1:

\begin{array}{l}{{2}^{3x+1}}=32\\{{2}^{3x+1}}={{2}^{5}}\\3x+1=5\\x=\frac{4}{3}\approx 1,33\end{array}                                                           1 p

Förslag 2:

(Den här metoden är kanske att förslå i det allmänna fallet)

\begin{array}{l}{{2}^{3x+1}}=32\quad \parallel \lg ()\\\lg ({{2}^{3x+1}})=\lg 32\\(3x+1)\cdot \lg 2=\lg 32\\3x+1=\frac{\lg 32}{\lg 2}=5\\3x+1=5\\x=\frac{4}{3}\approx 1,33\end{array}

1 p

Kontroll!

På den senare bilden löser vi delvis via ett delresultat, delvis genom den ursprungliga ekvationen. Andra möjligheter finns säkert!

c)

{{\log }_{4}}(3x)=3      Här utgår vi från logaritmens definition 1 p

\begin{array}{l}{{\log }_{4}}(3x)=3\\{{4}^{3}}=3x\\3x=64\\x=\frac{64}{3}\approx 21,33\end{array}

1 p

Kontroll:

Direkt: