Snells lag – en möjlig härledning

Här följer en liten betraktelse. Filen Snell finns lagrad i Boxen till vänster. Om verktyget inte fungerar, kan du bland länkar hitta DELADE FILER.

Man kan härleda Snells lag med t.ex. Huygens princip, men nu ska vi ta fasta på en annan metod. Vi utnyttjar Fermats princip, enligt vilken en ljusstråle färdas mellan två punkter längs den bana som ger kortaste färdtiden. På det sättet kan vi göra detta till en extremvärdesuppgift och derivera en aning! 15-02-2015 Skärmbild001 15-02-2015 Skärmbild002 15-02-2015 Skärmbild003 15-02-2015 Skärmbild004 15-02-2015 Skärmbild005

Tangenten till en parabel genom en punkt

pt1

Detta problem är långt ifrån banalt. Man räknar lätt fel på vägen. Problemet är därför ett bra exempel på hur CAS kan utnyttjas effektivt.  Man måste känna till matematiken. Räknare hjälper med det praktiska! Vi kör med bildkapningar. Texten torde förklara resonemanget.

PT6PT8

 

Sedan kontrollerar vi (och använde datorskärmen för att vinna lite utrymme):

tp10

 

 

 

Derivering och motivering

Uppgift 6 i kursprov, MAA8, Brändö gymnasium, våren13

Motivera via uträkningar: ”Går tangenten i punkten x = 4 till kurvan y={{e}^{\sqrt{x}}} genom origo?

___________________________________________________________________________

Säg det!

Vi inleder med en grafisk kontroll:

MAA86_1

 

Nog ser tangenten ut att gå genom origo alltid, men en bild är inget bevis idessa sammanhang!

Vi tar en Anteckningarskärm (Nytt dokument) till hjälp:

MAA8_6_2

MAA8_6_2_3

MAA8_6_5

MAA8_6_6

 

En småknepig ekvation

Kollegan Edward Krogius är framme igen. Den här gången ber han bloggaren att en dust med ekvationen

\begin{array}{l}{{2}^{a}}(4-a)=2a+4\\\end{array}

Vi ska söka lösningar dels för alla hela tal, dels för alla reella tal.

_________________________________________________________________________________

Vi ska se vad räknaren säger vid en grovkontroll:

Kne1

OK. Sedan kollar vi grafiskt. (a bytes ut mot x)

kne2

Vi zoomar in en aning:

Kne3

Med lite god vilja kan man se svaren. Tydligen är de svar räknaren hittade de enda, men det borde väl bevisas. Vi undersöker ekvationen vänstra led. Vi väljer också att ersätta a med x.

INTEK1

INTEK2

Derivatan har ett nollställe och det motsvarar ett maximum. Vi betecknar {{x}_{0}}=\frac{4\ln 2-1}{\ln 2} och vidare g(x)=2x+4

Eftersom g({{x}_{0}})>f({{x}_{0}}) och g(x) är strängt växande, medan f(x) är strängt avtagande, har vi ingen lösning då x är större än {{x}_{0}}. Med ett motsvarande resonemang ser man att inga lösningar heller finns då < 0.

Samtliga lösningar på ekvationen bör alltså finnas i intervallet 0 ≤ x < x0. Hur många är lösningarna? Det kunde vara intressant att jobba vidare med funktionen f(x)={{2}^{x}}(4-x)-2x-4, men det låter vi bli en ”övningsuppgift”.

SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 5

5.

Bestäm det största och det minsta värdet av polynomet f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-15x+2 i intervallet \left[ 2,6 \right]

f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-15x+2

Derivering ger:

{f}'(x)=3{{x}^{2}}-12x-15                                                                 1 p

Derivatans nollställen:

\begin{array}{l}3{{x}^{2}}-12x-15=0\\\end{array}   vilket kan divideras med 3:

{{x}^{2}}-4x-5=0

x=\frac{4\pm \sqrt{{{(-4)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{16+20}}{2}=\frac{4\pm 6}{2}                                    1 p

Rötterna är: x = 5 och x = -1, men den senare ligger utanför intervallet \left[ 2,6 \right]   1 p

Polynomet f(x) är kontinuerligt i det undersökta intervallet och deriverbart i intervallet \left] 2,6 \right[, vilket innebär att polynomet i det slutna intervallet antar ett största och ett minsta värde i derivatans nollställen eller i intervallets ändpunkter.            1p

Kontroll:

\begin{array}{l}f(2)={{2}^{3}}-6\cdot {{2}^{2}}-15\cdot 2+2=-44\\f(5)={{5}^{3}}-6\cdot {{5}^{2}}-15\cdot 5+2=-98\\f(6)={{6}^{3}}-6\cdot {{6}^{2}}-15\cdot 6+2=-88\end{array}

Vi ser att -44 är det största och -98 det minsta värdet.

Svar: f(x) antar i intervallet  \left[ 2,6 \right]   största värdet -44 och minsta värdet -98              2 p

Kontroll med räknaren:

Också en grafisk kontroll kan vara bra:

Här har vi valt ”Fönsterinställningarna” så, att x-minimum = 2 och x-maximum = 6. Sedan kan man välja Anpassning under menyn för ”Fönsterinställningar” (smått fjantig term, men vad sjutton).

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 4

4.

a)

Parabeln skär x-axeln i de punkter där y = 0:

{{x}^{2}}-12x+35=0                                         1 p

\begin{array}{l}x=\frac{12\pm \sqrt{{{12}^{2}}-4\cdot 1\cdot 35}}{2}\\x=\frac{12\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{12\pm 2}{2}\end{array}

x = 5 eller x = 7                                                             1 p

Svar: Skärningspunkjterna är (5,0) och (7,0)           1 p

b)

Parabeln har sin topp vid derivatans nollställe. Vi deriverar alltså och söker nollstället:

\begin{array}{l}{y}'(x)=2x-12\\2x-12=0\\x=6\end{array}     1 p (derivatan) 1 p (nollst.)

Toppens y-koordinat är alltså:

y(6)={{6}^{2}}-12\cdot 6+35=-1

Svar: Toppens koordinater är (6,-1)                                                      1 p

Kontroll! Det finns många möjligheter:

 

Här var några steg. Vi kan också satsa på en grafisk kontroll:

Via menu-tangenten:

Och vidare:

 

 

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 3

3.

a)

Vi börjar med det som bör antecknas för poäng:

\begin{array}{l}f(x)=x{{(x+2)}^{2}}\\=x(x+2)(x+2)\\=x({{x}^{2}}+4x+2)\\={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x\end{array}

Sedan deriverar vi:

{f}'(x)=3{{x}^{2}}+8x+4                                          1 p

Till slut har vi i punkten x = 0:

{f}'(0)=3\cdot {{0}^{2}}+8\cdot 0+4=4                1 p

Kontrollmöjligheter? det finns flera!

Vi börjar med att utveckla lite och sedan deriverar vi:

b)

Man kan lösa problemet på olika sätt.

Förslag 1:

\begin{array}{l}{{2}^{3x+1}}=32\\{{2}^{3x+1}}={{2}^{5}}\\3x+1=5\\x=\frac{4}{3}\approx 1,33\end{array}                                                           1 p

Förslag 2:

(Den här metoden är kanske att förslå i det allmänna fallet)

\begin{array}{l}{{2}^{3x+1}}=32\quad \parallel \lg ()\\\lg ({{2}^{3x+1}})=\lg 32\\(3x+1)\cdot \lg 2=\lg 32\\3x+1=\frac{\lg 32}{\lg 2}=5\\3x+1=5\\x=\frac{4}{3}\approx 1,33\end{array}

1 p

Kontroll!

På den senare bilden löser vi delvis via ett delresultat, delvis genom den ursprungliga ekvationen. Andra möjligheter finns säkert!

c)

{{\log }_{4}}(3x)=3      Här utgår vi från logaritmens definition 1 p

\begin{array}{l}{{\log }_{4}}(3x)=3\\{{4}^{3}}=3x\\3x=64\\x=\frac{64}{3}\approx 21,33\end{array}

1 p

Kontroll:

Direkt:

MAA7 Kursprov uppgift 9

I en rak cirkulär kon, ska en rak cirkulär cylinder inskrivas så, att cylinderns symmetriaxel sammanfaller med konens symmetriaxel. Cylinderns ena basyta ligger på konens basyta, medan periferin (omkretsen) av cylinderns andra basyta ligger på konens mantelyta. Konens höjd är 10 längdenheter och basytans radie är r. Bestäm cylinderns höjd, så  att dess volym blir så stor som möjligt. (Ledtråd: rita bilder och tänk på likformiga trianglar).

Vi inleder med att öppna en geometri-skärm och ritar en sidoprojektion av situationen: (alla kommandon finns bakom menu-tangenten!)

För att få en RAK cirkulär kon, rutas först ett segment. Sedan markeras mittpunktsnormalen till segmentet och konens sidor dras ut.  Sedan konstrueras en parallell till bassegmentet och paraleller med mitppunktsnormalen. Slutligen markeras nya segment så att cylinderns sidoprofil visas. Läget är nu, före och efter det att onödiga elements dolts:

Vi kallar nu höjden i cylindern för h och cylinderns radie rc. Då är höjden i den lilla topptriangeln 10-h.  Vi kan ställa upp följande förhållande grundat på trianglars likformighet:

Den sista raden visar en möjlighet att få fram derivatan nollställen. Om h = 10  har vi ett minimum (volymen är = 0). Om h = 10/3 har vi ett maximum. Definitionsmängden är 0 < h < 10.

Svar: h = 10/3 ger maximal volym.

Återstår bara att anteckna idéerna prydligt på provpappret!

 

MAA7 Kursprov uppgift 8

Bestäm tangenten till y={{x}^{3}} i punkten (2,8). I vilken punkt skär tangenten y-axeln? Bestäm arean av den triangel som begränsas av y-axeln, tangenten och linjen y = 8.

Vi börjar med att derivera, för att få fram tangentens riktningskoefficient.

 

OK. Tangenten har riktningskoefficienten k = 12. Vidare känner vi till en punkt (8,12) på tangenten. Vi kan då beräkna tangentens ekvation med enpunktsformeln, vilket visas ovan till höger. Vi ser att y-axeln skär i punkten -16.

Nu kan det vara lämpligt att rita en bild:

 

På vänstra bilden har punkten (2,8) markerats. Sedan har tangenten till punkte konstruerats och dess ekvation plockats fram. Slutligen har linjen y = 8 ritats ut. Samtliga skärningspunker av intresse har markerats och deras koordinater skrivits ut. Kommandon för allt detta finns bakom menu-tangenten!

Triangeln som efterfrågas har höjden 24 längdenheter, basen 2 l.e. och därför arean 24 kvadratenheter. Vi kan kontrollera saken på vår grafskärm. Vi konstruerar en triangel mellan lämpliga skärnimngspunkter och mäter dessa area. Alla verktyg finns bakom menu-tangenten. PROVA!

 

 

 

MAA7 Kursprov uppgift 5

Bestäm extremvärden och värdemängd, då f(x):\left[ -1,4 \right]\to \mathbb{R}f(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}

Vi definierar och deriverar (på Anteckningar-skärmen):

Vi har alltså eventuella extremvärden i punkterna x =-1, x = 0 och x=4

Ett teckenschema bör ritas på uppgiftspappret. Vi kontrollerar tecken (även utanför definitionsmängden, vi begränsar senare):

Vi har alltså lokala minima för f(-1) och f(4) och ett lokalt maximum i f(0). Vi beräknar värdet för dessa:

Värdemängden är alltså -128 ≤ f(x) ≤ 0 för den givna definitionsmängden. Grafisk kontroll: