Studentexamen i kort matematik våren 2016

I Finland skrevs i år studentexamen i lång och kort matematik enligt nya koncept. Provet bestod av två delar. I del A, som skulle klaras av på högst tre timmar, var man tvungen att klara sig utan tekniska hjälpmedel. Man skrev ner sina svar direkt på provpappret. Sedan lämnades A-delen in och man fick räknare av CAS-typ eller enklare med sig för att svara på del B. Delen A tänkte jag inte kommentera desto vidare här. Den som vill kan ta sig en titt via följande länk.

I stället ser vi på ”den svårare” B-delen. Här påstår jag mig inte servera perfekta lösningar. Visar främst hur CAS kan utnyttjas.

Del B alltså.

Länk till uppgiften i tns-format.

Länk till uppgiften i tns-format.

Länk till uppgiften i tns-form.

Länk till uppgiften i tns-format.

Länk till uppgiften – tns-fomat.

Länk till uppgiften i tns-format.

Länk till uppgiften i tns-fomrmat.

Länk till uppgiften i tns-format.

Länk till uppgiften i tns-format.

Att balansera kemiska reaktionslikheter

Bloggaren är fysiker. Därför blir det mesta i denna blogg ”fysik eller matematik”. Nu är det dags att ta med lite kemi igen. Kan man balansera reaktionslikheter med CAS?

Det går bra! Man har stor nytta av att uppdatera programvaran till senaste version (nu 4.2), eftersom där finns ett härligt kemiverktyg. Vi kan börja med att se på det. Välj Anteckningar-skärmen.

Bilden visar Kemiboxen som alternativ 2 i infoga-menyn. Ctrl-E fungerar som motsvarande snabbkommando. Vi aktiverar kemiboxen. När man skriver, tolkas underindex automatiskt. Bara att skriva alltså. ”Likamed”-tecken ger reaktionspil. PROVA!

Bloggaren matar in någonting lite mera krävande, t.ex. förbränning av hexan:

I den här formen är reaktionslikheten ännu obalanserad. Nu skriver vi koefficienter under kemikalierna:

Sedan ställer vi upp ekvationer som balanserar de enskilda grundämnena. Bloggaren föredrar här att INTE fördefiniera hur många ekvationer som behövs, utan att göra på följande sätt:

I det här fallet är ekvationerna 3, men ibland (Kirchoffs lagar i besvärliga elkretsar t.ex.) kan man inte vara helt säker på hur många man behöver! Då är ”and”-versionen bra! Lätt att editera!

Lösningen ovan visar ett intressant matematiskt delresultat. Vi har 4 obekanta, a,b c och d. Men vi har bara 3 ekvationer! CAS löser alltså ut tre av koefficienterna som funktioner av den fjärde! I det här fallet ser vi en prima utväg ur dilemmat!

Koefficienterna ska helst vara heltal. Sådana får vi ur lösningen ovan, om vi väljer c = 14!

Ser ut att ha lyckats! Trevligt!

 

 

 

 

Studentexamen i lång matematik våren 2016

I Finland skrevs i år studentexamen i lång och kort matematik enligt nya koncept. Provet bestod av två delar. I del A, som skulle klaras av på högst tre timmar, var man tvungen att klara sig utan tekniska hjälpmedel. Man skrev ner sina svar direkt påa provpappret. Sedan lämnades A-delen in och man fick räknare av CAS-typ eller enklare med sig för att svara på del B. Delen A tänkte jag inte kommentera desto vidare här. Den som vill kan ta sig en titt via följande länk.

I stället ser vi på ”den svårare” B-delen. Här påstår jag mig inte servera perfekta lösningar. Visar främst hur CAS kan utnyttjas.

Del B alltså.

Länk till lösningen i tns-format.

Länk till uppgiften i tns-format.

Länk till uppgiften i tns-format.

Länk till uppgiften i tns-format.

Uppgiften 9.1 kan beräknas på olika sätt. En direkt räkning, ger:

Vi kan också utnyttja kalkylarket:

Sedan är det bara att kopiera nedåt:

Fortsättning som tidigare.

Sedan till 9.2 som kräver ett bevisresonemang

Länk till uppgiften i tns-format.

Länk till uppgiften i tns-format.

Länk till uppgiften som en tns-fil.

Länk till uppgiften i tns-format.

Länk till uppgiften i tns-form.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ett ”get-problem”

Anta att två getter är kedjade vid varsitt diagonalt motsatt hörn i en kvadratisk inhägnad med sidlängden l. Den ena getens kedja har längden l, medan den andra har en kedja med längden l/2. Hur stor del av den kvadratisk inhägnaden kan båda getterna komma åt. Svara som funktion av l och som procent av arean.

En fil med skedena nedan, kan laddas upp här.

 

 

SE Kort matematik hösten 2015 – uppgifterna 10, 11 och 12

Uppgifterna som tns-fil.

Impulsprincipen – en demonstrationsmätning

Den här lilla laborationen utför man på några sekunder. Resultatbehandlingen tar lite längre, men inte hopplöst så. Data analyseras främst med Logger Pro, men också TNspire CAS kan utnyttjas.

Experimentet:

En trådlös givare, som kan mäta acceleration och kraft (samt vid behov höjd via lufttryck) användes. Hur? Så här:

https://vimeo.com/139432968

Jag stötte alltså till givarens ”kraftkrok” och gav den en kort impuls. Då åker den iväg längs bordsytan och stannar upp via friktion. Vad kan vi se i LoggerPro? (Filen kan nedladdas här!).

Kraftgrafen visar impulsen. Accelerationsgrafen visar två olika accelerationer. Först startar kroppen, sedan stannar den under en längre tid pga. friktion. Nu ska vi integrera en aning:

Impulsen ser ut att vara ca (-) 0,24 kg m/s.

Hastighetsförändringen fås ur den andra grafen . Både ökningen och minskningen är i parktiken lika, vilket är som det ska vara. Nu tar vi en Anteckningarskärm på räknarmjukvaran:

Bestämning av halveringstiden för Ba-137

Det är inte alldeles enkelt att i en skola bestämma en radionuklids halveringstid. Här visas ändå ett sådant experiment, utfört i Brändö gymnasium. Den som vill ha tillgång till materialet, kan öppna en av de två följande filerna:

Ba-137 Logger Pro

Ba-137 TNspire CAS

En förutsättning är att dessa program finns installerade på din dator!

Först några ord om upplägget. Bloggaren använde en norsk försöksutrustning, där man har ett sampel av Cs-137 i en behållare. Ba-137 erhåller man genom att pumpa ett lösningsmedel genom Cs-samplet. Detta lösningsmedel transporterar en del av dotternukliderna Ba-137 till ett uppsamlingskärl.Sedan mäter man snabbt halveringstiden med ett geigerrör och lämplig elektronik.Här använde programvaran LoggerPro och TNspire CAS.

Här visas processen. Ba-137 övergår via gammasönderfall till ett icke-exciterat tillstånd.

Cs-samplet ses i mitten. Lösningsmedlet pumpas igenom den vita sampelcylindern med en spruta.

Geigermätaren var av typen Vernier. Lösningsmedlet samlades upp i ett litet dekanterglas. Mätaren placerades bredvid denna. Gammastrålningen tränger lätt genom det tunna glaset.

Så till data, först med LoggerPro:

Nu återstår att välja en lämplig matematisk modell för sönderfallet. Loggerpro har ett flertal färdiga modeller som kan provas ut. Här är ett förslag:

Resultat:

Vi har alltså:

De sista stegen är beräknade med CAS-teknik.

Vi har alltså en halveringstid på ca 2,4 minuter!

I detta experiment blir det en aning mera komplicerat att använda TNspire CAS vid uppställandet av den matematiska modellen, eftersom utbudet ”färdiga modeller” inte riktigt matchar det LoggerPro erbjuder. Bifogar ändå data i både LoggerPro-format och TNspire CAS-format. Ladda gärna ner och pröva.Länkarna finns i början av uppgiften.

SE Kort matematik våren 2015 – uppgift 4

 

Vi inleder med att dela skärmen i en Anteckningar-del och en graf-del. På graf-delen kan vi experimentera lite. Beräkningar gör vi sedan på Anteckningar-skärmen.

På bilden ovan har triangeln konstruerats i koordinatsystemet. De sökta svaren kan avläsas i kontrollsyfte. Sedan till beräkningarna:

 

 

 

 

Snells lag – en möjlig härledning

Här följer en liten betraktelse. Filen Snell finns lagrad i Boxen till vänster. Om verktyget inte fungerar, kan du bland länkar hitta DELADE FILER.

Man kan härleda Snells lag med t.ex. Huygens princip, men nu ska vi ta fasta på en annan metod. Vi utnyttjar Fermats princip, enligt vilken en ljusstråle färdas mellan två punkter längs den bana som ger kortaste färdtiden. På det sättet kan vi göra detta till en extremvärdesuppgift och derivera en aning!

SE Lång matematik hösten 2014 – uppgift 8

_____________________________________________________________________________