MaA Våren 2017 uppgift 8

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 11.19.08.png

 

Vi inleder med att undersöka grafen av ”ekvationen” skriven som en funktion.

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.08.17.png Nu har vi en bild av vad vi ska göra. Om vi utan en graf vill bevisa att funktionen har nollställen. kan vi resonera så här:

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.10.42.png

är ett polynom av tredje garden och som sådan kontinuerlig för alla reella värden på x.  En enkel kontrollräkning ger

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.14.09.png

Enligt Bolzanos sats har funktionen ett nollställe mellan x = -4 och x = 2.  De övriga nollställena kan konstateras på motsvarande sätt, eftersom

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.19.55.png

Baserat på grafen är det tydligen det sistnämnda nollstället vi söker. Det är enkelt att lösa problemet med kunskap om vad Newtons metod innebär.

På Anteckningar-skärmen kan man t.ex. länka ett antal kommandon, där man kan utnyttja kopiering för att skriva mindre:

08-04-2017 Skärmbild003.jpg

SVAR Med fyra gällande siffror är nollstället x = -0,4425

Vi kan också skriva ihop ett kort program

08-04-2017 Skärmbild002.jpg

Bilden visar programmet. När det är kontrollerat och lagrat

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.46.51.png

kan det köras i räknarrutan. Vi börjar med att göra gissningen, här a = 0. Sedan kör vi med kommandot newton(). Varje tryck på ENTER gr sedan ett nytt närmevärde för vår rot (om gissningen lyckades och metoden konvergerar). Sex körningar ger:

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.50.32.png

vilket verkar övertygande.

Svar: Nollstället hittas vid x = -0,4425 med fyra decimalers noggrannhet.

(De andra nollställena kan snabbt beräknas motsvarande)

 

 

 

 

 

 

MaA Våren 2017 uppgifterna 5 och 6

Skärmavbild 2017-04-05 kl. 09.24.58.png

fSkärmavbild 2017-04-05 kl. 09.48.39.png

Skärmavbild 2017-04-05 kl. 10.14.54.png

Svar: Volymen är

Skärmavbild 2017-04-06 kl. 08.50.28.png

volym enheter

 

Skärmavbild 2017-04-06 kl. 08.49.31.png Vi konstaterar först med tanke på kommande att

Skärmavbild 2017-04-06 kl. 08.52.21.png

 

På bilden har ett par av triangelbitarna markerats

Skärmavbild 2017-04-06 kl. 09.07.28.png

Vi kan nu granska hur mycket av plattan som återstår när första biten kapats. Triangeln ABD (som blir kvar efter första kapandes) är likformig med hela triangeln ABC, eftersom två vinklar har samma storlek (en är rät och en 30 grader). Sedan konstaterar vi:Skärmavbild 2017-04-06 kl. 09.36.51.png

Det ger oss en (längd)skala för de längre katetrarna i ABD och ABC. När första biten kapats återstår alltså

Skärmavbild 2017-04-06 kl. 09.40.06.png

av den ursprungliga bitens area. Eftersom de följande bitarna är likformiga med den nya helheten, kapas varje gång en fjärdedel till, och då är den återstående biten area:

Skärmavbild 2017-04-06 kl. 09.42.54.png

där n är antalet kapningar och A den ursprungliga arean.

Om vi kapar 97 % återstår 3 %, vilket ger oss en möjlighet att lösa problemet med en ekvation (eller olikhet om man vill):

Skärmavbild 2017-04-06 kl. 09.48.39.png

Om man sedan tolkar texten, måste den 13:de biten brytas för att man ska korsa gränsen minst 97 procent kapat.

Svar: 13 bitar