Kan man enkelt skriva ut Fibonaccitalen med CAS

Detta som svar på en fråga i skolan:

Enligt Wikipedia definieras Fibonaccitalen så här:

Skärmavbild 2017-09-27 kl. 21.21.46.png

Det här skulle generera talföljden 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

Bloggaren har tidigare lärt sig att nollan i början utelämnas i det klassiska exemplet på Fibonaccital, men nu kör vi så här. Kan man bilda en del av talföljden med CAS. Det går bra, t.ex. så här:

Skärmavbild 2017-09-27 kl. 21.24.27.png

Vi börjar med att i ett kalkylark skriva de två första talen. I rutan a3 gör vi sedan en definition: =a1+a2:

Skärmavbild 2017-09-27 kl. 21.25.59.png

Ett tryck på ENTER ger:

Skärmavbild 2017-09-27 kl. 21.27.07.png

Nu kopierar (Ctrl-C pågen PC eller Cmd-C på Mac) vi rutan a3 nedåt ett önskat antal gånger: (måla och tryck på Ctrl-V eller Cmd-V.

Skärmavbild 2017-09-27 kl. 21.28.21.png

Om vi ger ett namn åt denna lista över en del av talföljden:

Skärmavbild 2017-09-27 kl. 21.29.57.png

kan vi plocka ut talen på t.ex. Anteckningar-skärmen:

Skärmavbild 2017-09-27 kl. 21.31.15.png

Det var det!

För ett antal år sedan (över 20 tror jag), hade man i studentprovet en uppgift, där man skulle räkna närmevärdet för förhållandet mellan 36 och 35 talet i följden. Man skulle då lista upp alla de tidigare termerna och inte göra fel på vägen! Tog sin tid minsann. Listan ses ovan.

Vi räknar:

Skärmavbild 2017-09-27 kl. 21.35.00.png

Ser det bekant ut? Om inte – kolla andra inlägg om Fibonaccital, Gyllene snittet och talet phi i denna blogg!

Mycket nöje!

 

 

 

Hur många kast kan jag förväntas kasta med en tärning innan jag får en sexa?

Källa:

”Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions” av Frederick Mosteller.

Här återges i tämligen fri form och med hjälp av CAS (Anteckningar-skärmen används), författarens analys:

sexa1Sexan2

sexan3

Det förväntade antalet kast är alltså 6 stycken, vilket kanske inte förvånar.

Kan vi hitta en lösning där vi utnyttjar geometriska talföljders egenskaper? Vi provar:

sexan6Sexan7

sexan8sexan9

Själva formeln för summan av en geometrisk talföljd kan härledas på ett liknande sätt. Prova!

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 11

För vilket värde på variabeln x är talflöjden

\ln 2,\text{ }\ln ({{2}^{x}}-2),\text{ }\ln ({{2}^{x}}+2)

aritmetisk?

__________________________________________________________________

Om talföljden ska vara aritmetisk, bör skillnaden mellan två p varandra följande termer, vara konstant. Alltså:

V13MAA11_1

 

På första raden skrivs skillnaderna mellan termerna lika med varandra. Räknaren förenklar delvis detta resultat (vänstra ledet). Högra ledet åtgärdar vi motsvarande själva och så fortsätter vi enligt bilderna:

V13MAA11_3 V13MAA11_4

Resukltatet på sista raden är lätt att lösa med produktregeln. Eftersom {{2}^{x}}=0, saknar lösning, räcker det med att ”processa parentesen”.

V13MAA11_5

 

Svaret ses på sista raden ovan. Vi kan ännu beräkna en snabb kontroll:

V13MAA11_6

Ser ut att fungera alltså!

 

Rävar och citykaniner – en liten simulation

I den här lilla demonstrationen ska två talföljder kopplas till varandra och sedan beräknas rekursivt – varje term beräknas direkt ur den föregående termen med en formel. Starta med att välja en grafskärm. Välj sedan via menu-tangenten alternativet 3:Grafinmatning/Redigera alternativet 6:Talföljd och vidare 1:Talföljd. Mata in följande:

RK1RK2

Vi startar alltså med 300 kaniner och 40 rävar i en population. Forlmerna som beskriver hur populationerna växelverkan är uppenbara. Det hela körs här med 1000 räknesteg. För att se vad som händer, måsta skärmen antagligen zoomas och anpassa.

RK3

Mekanismen är klar. Mycket kaniner = mycket mat. Rävarna ökar i antal. Då kaninerna försvinner, mår rävpopulationen inte så bra, utan minskar i antal.

Det här är en mycket förenklad modell, men rolig ändå! Det finns massor av alternativa versioner på webben. Priva ändra parametrarna i evationerna en aning! Tydligen är jämvikten vi ser relativt labil.

Ett intressant alternativ är att avbilda rävarna på ena koordinataxeln och kaninerna på andra.

Starta en ny grafskärm och välj pånytt talföljderna, men den här gången i form anpassad.

Mata in:

RK4

Efter zoomning och anpassning ser vi:

RK5