SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 7

7.

Den tyske astronomen Johannes Kepler (1571 – 1630) upptäckte sambandet mellan en planets avstånd från solen och dess omloppstid. Låt symbolen x beteckna en planets omloppstid och låt symbolen ybeteckna dess avstånd från solen. Nedanstående tabell innehåller omloppstiden i år för de fem planeter som ligger närmast solen och deras avstånd från solen med den astronomiska enheten som mått.
2012-12-03 15-29-23 +00001

a)
Kopiera tabellen på ditt svarspapper och fyll i de värden som saknas med tre decimalers noggrannhet 
b)
Vilken är Keplers formel för avståndet y uttryckt med hjälp av omloppstiden x
c)
Saturnus har en omloppstid på 29,457 år. Hur långt från solen befinner sig Saturnus?

Vi tar teorin och kontrollen med räknaren lite om varandra här:

a)

Tabellen kan fyllas i direkt med hjälp av räknaren utan större problem:

2012-12-02 17-22-47 +00001

2 p

Kan man kontrollera detta på räknaren. Vi skriver in data i ett kalkylark:

U7K1U7K2

Här föreslås rubriker och planeternas namn skrivs in. Observera att listan måste skriva på fel led.

U7K3U7K4

I kolumnens kommandoruta matas ett likamedstecken in, följt av tredjeroten av kolumnen x. Frågerutan om kolumn- eller variabelreferens, besvaras med vaiabelreferens. Upprepa för y och roten av y:

U7K5

Här ser vi listorna.

Det finns en kontrollmöjlighet till. Vi kan ta den på Anteckningar-skärmen

U7K6

b)

Man kan avläsa MAOLs tabeller och konstatera att

\sqrt{y}=\sqrt[3]{x}                                                                1 p

eller

y=\left( \sqrt[3]{x} \right){}^{2}={{x}^{\frac{2}{3}}}             2 p

c)

Vi har x = 29,457. Enligt b-fallet har vi då:

y=\left( \sqrt[3]{29,457} \right){}^{2}\approx 9,538          2 p

Annonser

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 6

6.

En viss japansk bilmodell förbrukar vid landsvägskörning i genomsnitt 6,8 liter bensin på hundra kilometer. Med en amerikansk bil i samma storleksklass kan man köra 32 engelska mil på en gallon bensin. Vilkendera bilen förbrukar minst bränsle? En gallon är ca 3,785 liter och en engelsk mil är ca 1,609 kilometer.  

Vi börjar med den amerikanska bilen. Den förbrukar en gallon på 32 engelska mil. Vi räknar om den färdsträckan:

{{x}_{1}}=32\cdot 1,609\ \text{km}\approx 51,488\ \text{km}              1 p

färdsträcka (km)    förbrukad mängd bensin

41,488                    3,785

100                         v

Vi beräknar förbrukningen på sträckan 100 km. Vi har en direkt proportionalitet mellan färdsträckan och mängden förbrukad bensin, alltså:

\frac{v}{100}=\frac{3,785}{51,488}                                          1 p

vilket multiplicerat med 100 ger:

v=\frac{3,785\cdot 100}{51,488}\approx 7,315\ \text{liter}

Eftersom den japanska bilen förbrukar 6,8 liter per 100 km, är den bränslesnålare.

Svar: Den japanska bilen förbrukar mindre bensin.                           4 p

KONTROLL:

Det finns ingenting konstigt i uppgiften, men vi ska undersöka en enkel kontrollmetod i alla fall. Vi använder Anteckningar-skärmen.

 

De färgade anteckningarna är gjorda i så kallade matematikrutor, som aktiveras med Ctrl-M.

Fördelen med Anteckningar-skärmen, är att man kan länka de olika variablerna. Då kan man lätt korrigera inmatningsfel eller ändra talvärden och få allt omräknat omgående.

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 5

 

 

a)

Vi undersöker talföljden {{a}_{n}}=3+4n närmare. Vi beräknar skillanden mellan två på varandra följande termer:

\begin{array}{l}{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=3+4(n+1)-(3+4n)=\\=3+4n+4-3-4n=4\end{array}

Eftersom skillnaden mellan termerna är konstant, rör det sig om en aritmetisk talföljd.

Skillanden kan uttryckas som d={{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=4                              1 p

Vi beräknar första och sista termen i uppgiftens summauttryck:

\begin{array}{l}{{a}_{0}}=3+4\cdot 0=3\\{{a}_{22}}=3+4\cdot 22=91\end{array}

Antalet termer är n = 22 – 0 + 1 = 23                                                                              1 p

Vi beräknar summan:

{{S}_{n}}=\frac{n({{a}_{1}}+{{a}_{n}})}{2}=\frac{23(3+91)}{2}=1081

Svar: Summan är 1081                                                                                                       1 p

KONTROLL:

Man kan kontrollera resultatet direkt:

 

Om man vill undersöka talföljden ytterligare, finns flera alternativ. Vi kan t.ex. se på termerna:

 

b)

Vi undersöker först två på varandra följande termer och beräknar deras kvot:

\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{{{(-3)}^{n+1}}}{{{(-3)}^{n}}}={{(-3)}^{n+1-n}}=-3

Kvoten är konstant. Vi har alltså en geometrisk serie med förhållandet

q=\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=-3

mellan två på varandra följande termer.                                                     1 p

Första termen: {{a}_{2}}={{(-3)}^{2}}=9

Antalet termer i summan: n = 15 – 2 + 1 = 14                                             1 p

Då får vi summan: {{S}_{n}}=\frac{{{a}_{2}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}=\frac{9(1-{{(-3)}^{14}})}{1-(-3)}=-10761678

Svar: Summan är -10761678                                                                           1 p

KONTROLL:

Några möjligheter:

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 4

4.

a)

Parabeln skär x-axeln i de punkter där y = 0:

{{x}^{2}}-12x+35=0                                         1 p

\begin{array}{l}x=\frac{12\pm \sqrt{{{12}^{2}}-4\cdot 1\cdot 35}}{2}\\x=\frac{12\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{12\pm 2}{2}\end{array}

x = 5 eller x = 7                                                             1 p

Svar: Skärningspunkjterna är (5,0) och (7,0)           1 p

b)

Parabeln har sin topp vid derivatans nollställe. Vi deriverar alltså och söker nollstället:

\begin{array}{l}{y}'(x)=2x-12\\2x-12=0\\x=6\end{array}     1 p (derivatan) 1 p (nollst.)

Toppens y-koordinat är alltså:

y(6)={{6}^{2}}-12\cdot 6+35=-1

Svar: Toppens koordinater är (6,-1)                                                      1 p

Kontroll! Det finns många möjligheter:

 

Här var några steg. Vi kan också satsa på en grafisk kontroll:

Via menu-tangenten:

Och vidare:

 

 

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 3

3.

a)

Vi börjar med det som bör antecknas för poäng:

\begin{array}{l}f(x)=x{{(x+2)}^{2}}\\=x(x+2)(x+2)\\=x({{x}^{2}}+4x+2)\\={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x\end{array}

Sedan deriverar vi:

{f}'(x)=3{{x}^{2}}+8x+4                                          1 p

Till slut har vi i punkten x = 0:

{f}'(0)=3\cdot {{0}^{2}}+8\cdot 0+4=4                1 p

Kontrollmöjligheter? det finns flera!

Vi börjar med att utveckla lite och sedan deriverar vi:

b)

Man kan lösa problemet på olika sätt.

Förslag 1:

\begin{array}{l}{{2}^{3x+1}}=32\\{{2}^{3x+1}}={{2}^{5}}\\3x+1=5\\x=\frac{4}{3}\approx 1,33\end{array}                                                           1 p

Förslag 2:

(Den här metoden är kanske att förslå i det allmänna fallet)

\begin{array}{l}{{2}^{3x+1}}=32\quad \parallel \lg ()\\\lg ({{2}^{3x+1}})=\lg 32\\(3x+1)\cdot \lg 2=\lg 32\\3x+1=\frac{\lg 32}{\lg 2}=5\\3x+1=5\\x=\frac{4}{3}\approx 1,33\end{array}

1 p

Kontroll!

På den senare bilden löser vi delvis via ett delresultat, delvis genom den ursprungliga ekvationen. Andra möjligheter finns säkert!

c)

{{\log }_{4}}(3x)=3      Här utgår vi från logaritmens definition 1 p

\begin{array}{l}{{\log }_{4}}(3x)=3\\{{4}^{3}}=3x\\3x=64\\x=\frac{64}{3}\approx 21,33\end{array}

1 p

Kontroll:

Direkt:

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 2

2.

a)
Bestäm salthalten i en medvurst med noggrannheten av en tiondels procent, när 250 g av medvursten innehåller 9,0 gram salt.
b)
I en rätvinklig triangel är längden av hypotenusan 4,9 m, medan en av kateterna har längden 2,3 m. Beräkna längden av den andra kateten med 0,1 meters noggrannhet.
c)
Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (0,8) och (12,0)

a)

Ingenting konstigt här. Direkt beräkning:

Svaret är ca 3,6 %

Möjlig bedömning:

Massan salt: 9,0 g

Massan totalt: 250 g

Andelen salt: 9 g/250 g *100 % = 3,6 %          2 p

b)

Vi tar den möjliga bedömningen först:

Vi har en rätvinklig triangel. Vi kallar hypotenusan c och kateterna a respektive b. Då gäller enligt Pythagoras sats:

{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}

Vi löser:

{{a}^{2}}={{c}^{2}}-{{b}^{2}}                 1 p

a=(\pm )\sqrt{{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}=(\pm )\sqrt{{{4,9}^{2}}-{{2,3}^{2}}}\approx (\pm )4,3

Svar: ca 4,3 m                                                       1 p

Kontroll:

c)

Möjlig bedömning:

Vi har punkterna (0,8) och (12,0). Riktningskoefficienten blir då:

k=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\frac{0-8}{12-0}=-\frac{8}{12}=-\frac{2}{3}  1 p

Sedan väljer vi t.ex. punkten (0,8) och fortsätter ed enpunktsformeln:

\begin{array}{l}y-{{y}_{1}}=k(x-{{x}_{1}})\\y-8=-\frac{2}{3}(x-0)\\y=-\frac{2}{x}x+8\\\end{array}

Svar: y=-\frac{2}{x}x+8                                                                                                            1 p

Det finns massor av kontrollmöjligheter:

Om vi väljer att jobba med Anteckningar-skärmen:

Vi kan också jobba med grafskärmen (menu):

Sedan ger vi koordinater åt punkterna (menu):

Genom att markera koordinaterna kan vi ge dem bättre värden:

 

Sedan drar vi en linje genom punkterna:

 

Sedan ger vi linjen en ekvation:

 

Ser bra ut!

Också andra kontrollmöjligheter finns!

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 1

1.

a)

Vi börjar med en kontrollberäkning på räknarskärmen:

Svaret är tydligen x = 0 eller x = 2

Sedan tar vi det stegvis:

Möjlig bedömning:

\begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x=0\\x(x-2)=0\end{array}

1 p

Nollregeln för en produkt:

x = 0 eller x – 2 = 0

Svar: x = 0 eller x = 2

1 p

b)

Kontroll:

Vi har ett svar!

Steg:

När man räknar ovanstående, lönar det sig att kopiera (Ctrl-C) och klistra in (Ctrl-V).

Möjlig bedömning:

\begin{array}{l}\frac{2}{3}x-1=\frac{2}{3}\quad \left| \cdot 3 \right.\\2x-3=2\end{array}

1 p

\begin{array}{l}2x=5\ \left| :2 \right.\\x=\frac{5}{2}\end{array}

Svar: x = 5/2

1 p

c)

Kontroll:

Vi har alltså ett svar.

Stegvis lösning:

 

Observera hur man kan manipulera uttrycken här. Också insättningen av x = 2 fungerar.

Möjlig bedömning:

\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x+2y=-4\\2x-y=-3\ \ \left| \cdot 2 \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x+2y=-4\\4x-2y=-6\end{array} \right.\end{array}

Addition ledvis:

\begin{array}{l}5x=-10\ \ \left| :5 \right.\\x=-2\end{array}

1 p

Insättning:

\begin{array}{l}2\cdot (-2)-y=-3\\y=-4+3=-1\end{array}

Svar: x = -2, y = -1

1 p