SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 15

15.

U15K_text

_______________________________________________________________________________

Ortsvektorerna är:

\begin{array}{l}\overline{OA}=4\bar{i}+2\bar{j}+\bar{k}\\\overline{OB}=6\bar{i}+5\bar{j}+2\bar{k}\\\overline{OC}=7\bar{i}+9\bar{j}+3\bar{k}\end{array}

Vi börjar med att bestämma vektorn

\overline{BC}=\overline{OC}-\overline{OB}=(7-6)\bar{i}+(9-5)\bar{j}+(3-2)\bar{k}=\bar{i}+4\bar{j}+\bar{k}              1 p

Eftersom det rör sig om en parallellogram, är \overline{BC}=\overline{AD}    1 p

Vi bestämmer ortsvektorn \begin{array}{l}\overline{BC}=\overline{AD}\\\overline{OD}\end{array}.

\begin{array}{l}\overline{OD}=\overline{OA}+\overline{AD}=\overline{OA}+\overline{BC}=4\bar{i}+2\bar{j}+\bar{k}+\bar{i}+4\bar{j}+\bar{k}=\\=5\bar{i}+6\bar{j}+2\bar{k}\end{array}     2 p

Sedan beräknar vi diagonalerna:

\overline{BD}=\overline{OD}-\overline{OB}=(5-6)\bar{i}+(6-5)\bar{j}+(2-2)\bar{k}=-\bar{i}+\bar{j}

\overline{AC}=\overline{OC}-\overline{OA}=(7-4)\bar{i}+(9-2)\bar{j}+(3-1)\bar{k}=3\bar{i}+7\bar{j}+2\bar{k}                                                              1 p

Svar

\begin{array}{l}\overline{OD}=5\bar{i}+6\bar{j}+2\bar{k}\\\overline{BD}=-\bar{i}+\bar{j}\\\overline{AC}=3\bar{i}+7\bar{j}+2\bar{k}\end{array}           1 p

KONTROLL:

U15K_1

 

U15L_2

Annonser

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 14

14.

U14K_bild

____________________________________________________________________________

Vi börjar med en normering:

U14F1                                            1 p

Sedan beräknar vi sannolikheten:

U14F2                                                        2 p

U14F3                                                                                               1 p

= 1 – 0,9772 = 0,0228                                                                                              1 p

Svar: ca 2,3 %                                                                                                          1 p

U14K_B

 

KONTROLL:

Nu finns det många möjligheter.

På räknarskärmen kan man via menu välja 6:Statistik, 5:Fördelningar och 2:Normal Cdf (betyder kumulativ normalfördelning).

U14K_1

 

U14K_2

 

I ovanstående hoppade vi över normeringen. Vi kan förstås utföra den också:

U14K_3

 

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 13

13.

Karolina och Petter satte vardera in 10 000 euro på banken för ett år. Karolina valde en tidsbunden tolv månaders deposition med en årlig ränta på 2,20 %. Av räntan innehöll banken en källskatt som uppgick till 30 %. Petter placerade först sina pengar på ett tidsbundet sex månaders konto med årlig ränta på 2,35 %. Efter ett halvt år placerade han kapitalet, inklusive räntan minskad med den källskatt på 30 % som banken dragit av, på ett annat tidsbundet sex månaders konto. Detta konto hade en årsränta på 2,00 %. Av räntan innehöll banken som tidigare en källskatten på 30 %. Vem gjorde den bästa placeringen, och hur stort var dess värde efter ett år?

_____________________________________________________________________________

Karolina får en årlig ränta på 2,20 %, vilket motsvarar 10 000 €·0,022 =220 €.      1 p

Efter skatt på 30% återstår 70 % eller 220 €·0,70 = 154 €                                         1 p

Efter ett år har Karolina 10 154 € på kontot

Petter börjar med en halvt år placering på kontot, med räntan 2,35 %, vilket ger en ränta på:

½·10 000 €·0,0235·0,7 = 82,25 €                                                                                    1 p

På kontot finns nu 10 082,25 €                                                                                         1 p

Under andra halvan av året, placerar han pengarna på ett konto med 2,0 % ränta och oförändrad källskatt. Ränta:  ½·10 082,25 €·0,02·0,7 ≈ 70,575758 €                                                                   1 p

Räntan bli sammanlagt 82,25 € + 70,575758 € = 152,82575 € < 154 €

Svar: Karolina gjorde den bättre placeringen med 10 154 € på kontot                             1 p

KONTROLL:

U13K_1

U13K_2

U13K_3

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 12

12.

Befolkningstillväxten i världen beskrivs ofta med hjälp av en exponentiell modell. År 2004 var jordens befolkning 6,4 miljarder, medan den år 2010 var ca 6,8 miljarder. Vilket år kommer jordens befolkning att överskrida 10 miljarder enligt modellen?

________________________________________________________________________________

Tidsperioden 2004 till 2010 motsvarar 6 år. Vi betecknar:

\begin{array}{l}B=6,4\quad \text{(miljarder)}\\{{B}_{6}}=6,8\ \ \text{(miljarder)}\end{array}

Vi ställer upp: {{B}_{6}}=B\cdot {{q}^{6}}, där q är en årlig tillväxtfaktor.    1 p

\begin{array}{l}6,8=6,4\cdot {{q}^{6}}\quad \left| :6,4 \right.\\{{q}^{6}}=\frac{6,8}{6,4}\\q=\pm \sqrt{\frac{6,8}{6,4}}\approx \pm 1,010155\end{array}

Vi bortser från det negativa svaret.                                                                                   1 p

Befolkningen uppgår enligt modellen till 10 miljarder efter n då:

6,8=6,4\cdot {{q}^{6}}\quad \left| :6,4 \right.                 1 p

\begin{array}{l}{{q}^{n}}=\frac{10}{6,4}\quad \left| \lg () \right.\\n\cdot \lg q=\lg \frac{10}{6,4}\\n=\frac{\lg \frac{10}{6,4}}{\lg q}\approx \frac{\lg \frac{10}{6,4}}{\lg 1,010155}\approx 44,167\end{array}                                                                          2 p

Vi kan alltså anta att gränsen 10 miljarder passeras då det förflutit ca 45 år från år 2004, alltså år 2004+45 = 2049

Svar: År 2049                                                                                    1 p

KONTROLL:

U12K_1

 

 

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 11

11.

Hos en vuxen människa beror skenbenets längd y av personens kroppslängd x enligt formlerna
y = 0,43 x – 27 (kvinna)

y = 0,45 x – 31 (man)
där enheten är cm.
U11_bild
a)
En arkeolog hittar ett 41 cm långt skenben av en kvinna. Hur lång var kvinnan?
b)
Vid en utgrävning hittas resterna av en man som bedömts vara 175 cm lång. I närheten hittades ett skenben som är 42 cm långt. Kommer skenbenet från samma person?

_____________________________________________________________________________

Vi benämner personens längd x. Då är skenbenets längd

Kvinnor: y=0,43x-27           Män: y=0,45x-31

a)

y = 41 cm   (Kvinna)

Vi löser x ur  41=0,43x-27                              1 p

\begin{array}{l}0,43x=41+27\,43x=68\quad \left| :0,43 \right.\\x=\frac{68}{0,43}\approx 158,2\\\end{array}

Svar: Kvinnan var ca 160 cm lång.                             2 p

b)

Vi måste beräkna skenbenets längd, då en man har haft längden x = 175 cm.

y=0,45\cdot 175-31\approx 47,8                  1 p

Den upphittade mannen borde ha ett skenben som är ca 48 cm långt. Det funna skenbenet är bara 42 cm långt.

Svar: Skenbenet hör antagligen ihop med en annan person.        2 p

KONTROLL:

U11K_1

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 10

10.

I en rak cirkulär kon är en rak cirkulär cylinder placerad så, att cylinderns nedre basyta ligger på konens basyta och cylinderns övre kant tangerar konens mantelyta. Diametern av cylinderns basyta är lika stor som cylinderns höjd och samtidigt hälften så stor som diametern av konens basyta. Hur många procent av konens volym utgör cylinderns volym? Ge ditt svar med en noggrannhet av en tiondels procent.

______________________________________________________________________________

U10K_1

 

På bilden är trianglarna ABC och ADE likformiga. Motivering: Båda har en rät vinkel och en gemensam vinkel vid konens topp A.                                           1 p

En följd är att \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}                    1 p

\frac{2r}{r}=\frac{x+2r}{x}\quad \left| \cdot x \right.  , vilket kräver att x\ne 0

\begin{array}{l}2x=x+2r\\x=2r\end{array}                        1 p

Cylindern har volymen:

{{V}_{C}}=A\cdot h=\pi {{r}^{2}}\cdot 2r=2\pi {{r}^{3}}         1 p

Konen har volymen:

{{V}_{K}}=\frac{1}{3}\pi \cdot h=\frac{1}{3}\pi \cdot {{(2r)}^{2}}\cdot 4r=\frac{16}{3}\pi {{r}^{3}}                                                                                                   1 p

Den procentuella andelen:

\frac{{{V}_{C}}}{{{V}_{K}}}=\frac{2\pi {{r}^{3}}}{\frac{16}{3}\pi {{r}^{3}}}=\frac{3}{8}\approx 0,375

Svar: 37,5 %                                                                                             1 p

 

KONTROLL:
U10K_2

 

 

 

 

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 8

8.

Fred brukar besöka en lunchrestaurang som serverar tre olika slags pizzor: standardpizzor som kostar 7,50 euro, rågpizzor som kostar 8,50 euro och pannpizzor som kostar 10,50 euro. Kunden ska välja två fyllningar bland 15 alternativ. För tilläggspriset en euro kan kunden välja en tredje fyllning. Fred försöker alltid äta en pizza som avviker från alla tididgare i fråga om antingen botten eller fyllningar. 
a)
Hur många veckor kan han göra det om han äter på restaurangen fem gånger i veckan?
b)
Vilket är medelpriset för de olika pizzorna?

a)

Vi beräknar hur många olika pizza-alternativen är.  Vi kan välja 2 fyllningar av 15 på

\left( \begin{array}{l}15\\2\end{array} \right)=\frac{15!}{2!(15-2)!}=105 olika sätt

och 3 fyllningar av 15 på

\left( \begin{array}{l}15\\3\end{array} \right)=\frac{15!}{3!(15-3)!}=455 olika sätt.

Sammanlagt blir det 560 olika fyllningsmöjligheter.                1 p

Dessutom har vi tre olika pizzabotten. Sammanlagda antalet olika pizzor är då 3\cdot 560=1680.                                                                                    1 p

Om Fred äter 5 pizzor i veckan, räcker det \frac{1680}{5}=336 veckor att pröva sig igenom menyn.

Svar: 336 veckor                                                                            1 p

b)

Vi kartlägger alternativen: Det finns 105 alternativ med priset 7,50 € (standardpizza + 2 fyllningar), 455 + 105 = 560 alternativ med priset 8,5+ € (standardpizza + 3 fyllningar eller rågpizza + 2 fyllningar), 455 alternativ med priset 9,50 € (rågpizza + 3 fyllningar), 105 alternativ med priset 10,5+ € (pannpizza + 2 fyllningar och slutligen 105 alternativ med priset 11,50 € (pannpizza + 3 fyllningar).                                                           1 p

Medelpriset blir då: \frac{7,50\cdot 105+8,50\cdot 560+9,50\cdot 455+10,50\cdot 105+11,50\cdot 455}{1680}\approx 9,6458

Svar: Medelpriset är 9,65 €                                                           2 p

Kontroll:

Ingenting överväldigande här!

U8K_1