SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 15

15.

U15K_text

_______________________________________________________________________________

Ortsvektorerna är:

\begin{array}{l}\overline{OA}=4\bar{i}+2\bar{j}+\bar{k}\\\overline{OB}=6\bar{i}+5\bar{j}+2\bar{k}\\\overline{OC}=7\bar{i}+9\bar{j}+3\bar{k}\end{array}

Vi börjar med att bestämma vektorn

\overline{BC}=\overline{OC}-\overline{OB}=(7-6)\bar{i}+(9-5)\bar{j}+(3-2)\bar{k}=\bar{i}+4\bar{j}+\bar{k}              1 p

Eftersom det rör sig om en parallellogram, är \overline{BC}=\overline{AD}    1 p

Vi bestämmer ortsvektorn \begin{array}{l}\overline{BC}=\overline{AD}\\\overline{OD}\end{array}.

\begin{array}{l}\overline{OD}=\overline{OA}+\overline{AD}=\overline{OA}+\overline{BC}=4\bar{i}+2\bar{j}+\bar{k}+\bar{i}+4\bar{j}+\bar{k}=\\=5\bar{i}+6\bar{j}+2\bar{k}\end{array}     2 p

Sedan beräknar vi diagonalerna:

\overline{BD}=\overline{OD}-\overline{OB}=(5-6)\bar{i}+(6-5)\bar{j}+(2-2)\bar{k}=-\bar{i}+\bar{j}

\overline{AC}=\overline{OC}-\overline{OA}=(7-4)\bar{i}+(9-2)\bar{j}+(3-1)\bar{k}=3\bar{i}+7\bar{j}+2\bar{k}                                                              1 p

Svar

\begin{array}{l}\overline{OD}=5\bar{i}+6\bar{j}+2\bar{k}\\\overline{BD}=-\bar{i}+\bar{j}\\\overline{AC}=3\bar{i}+7\bar{j}+2\bar{k}\end{array}           1 p

KONTROLL:

U15K_1

 

U15L_2

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 14

14.

U14K_bild

____________________________________________________________________________

Vi börjar med en normering:

U14F1                                            1 p

Sedan beräknar vi sannolikheten:

U14F2                                                        2 p

U14F3                                                                                               1 p

= 1 – 0,9772 = 0,0228                                                                                              1 p

Svar: ca 2,3 %                                                                                                          1 p

U14K_B

 

KONTROLL:

Nu finns det många möjligheter.

På räknarskärmen kan man via menu välja 6:Statistik, 5:Fördelningar och 2:Normal Cdf (betyder kumulativ normalfördelning).

U14K_1

 

U14K_2

 

I ovanstående hoppade vi över normeringen. Vi kan förstås utföra den också:

U14K_3

 

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 13

13.

Karolina och Petter satte vardera in 10 000 euro på banken för ett år. Karolina valde en tidsbunden tolv månaders deposition med en årlig ränta på 2,20 %. Av räntan innehöll banken en källskatt som uppgick till 30 %. Petter placerade först sina pengar på ett tidsbundet sex månaders konto med årlig ränta på 2,35 %. Efter ett halvt år placerade han kapitalet, inklusive räntan minskad med den källskatt på 30 % som banken dragit av, på ett annat tidsbundet sex månaders konto. Detta konto hade en årsränta på 2,00 %. Av räntan innehöll banken som tidigare en källskatten på 30 %. Vem gjorde den bästa placeringen, och hur stort var dess värde efter ett år?

_____________________________________________________________________________

Karolina får en årlig ränta på 2,20 %, vilket motsvarar 10 000 €·0,022 =220 €.      1 p

Efter skatt på 30% återstår 70 % eller 220 €·0,70 = 154 €                                         1 p

Efter ett år har Karolina 10 154 € på kontot

Petter börjar med en halvt år placering på kontot, med räntan 2,35 %, vilket ger en ränta på:

½·10 000 €·0,0235·0,7 = 82,25 €                                                                                    1 p

På kontot finns nu 10 082,25 €                                                                                         1 p

Under andra halvan av året, placerar han pengarna på ett konto med 2,0 % ränta och oförändrad källskatt. Ränta:  ½·10 082,25 €·0,02·0,7 ≈ 70,575758 €                                                                   1 p

Räntan bli sammanlagt 82,25 € + 70,575758 € = 152,82575 € < 154 €

Svar: Karolina gjorde den bättre placeringen med 10 154 € på kontot                             1 p

KONTROLL:

U13K_1

U13K_2

U13K_3

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 12

12.

Befolkningstillväxten i världen beskrivs ofta med hjälp av en exponentiell modell. År 2004 var jordens befolkning 6,4 miljarder, medan den år 2010 var ca 6,8 miljarder. Vilket år kommer jordens befolkning att överskrida 10 miljarder enligt modellen?

________________________________________________________________________________

Tidsperioden 2004 till 2010 motsvarar 6 år. Vi betecknar:

\begin{array}{l}B=6,4\quad \text{(miljarder)}\\{{B}_{6}}=6,8\ \ \text{(miljarder)}\end{array}

Vi ställer upp: {{B}_{6}}=B\cdot {{q}^{6}}, där q är en årlig tillväxtfaktor.    1 p

\begin{array}{l}6,8=6,4\cdot {{q}^{6}}\quad \left| :6,4 \right.\\{{q}^{6}}=\frac{6,8}{6,4}\\q=\pm \sqrt{\frac{6,8}{6,4}}\approx \pm 1,010155\end{array}

Vi bortser från det negativa svaret.                                                                                   1 p

Befolkningen uppgår enligt modellen till 10 miljarder efter n då:

6,8=6,4\cdot {{q}^{6}}\quad \left| :6,4 \right.                 1 p

\begin{array}{l}{{q}^{n}}=\frac{10}{6,4}\quad \left| \lg () \right.\\n\cdot \lg q=\lg \frac{10}{6,4}\\n=\frac{\lg \frac{10}{6,4}}{\lg q}\approx \frac{\lg \frac{10}{6,4}}{\lg 1,010155}\approx 44,167\end{array}                                                                          2 p

Vi kan alltså anta att gränsen 10 miljarder passeras då det förflutit ca 45 år från år 2004, alltså år 2004+45 = 2049

Svar: År 2049                                                                                    1 p

KONTROLL:

U12K_1

 

 

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 11

11.

Hos en vuxen människa beror skenbenets längd y av personens kroppslängd x enligt formlerna
y = 0,43 x – 27 (kvinna)

y = 0,45 x – 31 (man)
där enheten är cm.
U11_bild
a)
En arkeolog hittar ett 41 cm långt skenben av en kvinna. Hur lång var kvinnan?
b)
Vid en utgrävning hittas resterna av en man som bedömts vara 175 cm lång. I närheten hittades ett skenben som är 42 cm långt. Kommer skenbenet från samma person?

_____________________________________________________________________________

Vi benämner personens längd x. Då är skenbenets längd

Kvinnor: y=0,43x-27           Män: y=0,45x-31

a)

y = 41 cm   (Kvinna)

Vi löser x ur  41=0,43x-27                              1 p

\begin{array}{l}0,43x=41+27\,43x=68\quad \left| :0,43 \right.\\x=\frac{68}{0,43}\approx 158,2\\\end{array}

Svar: Kvinnan var ca 160 cm lång.                             2 p

b)

Vi måste beräkna skenbenets längd, då en man har haft längden x = 175 cm.

y=0,45\cdot 175-31\approx 47,8                  1 p

Den upphittade mannen borde ha ett skenben som är ca 48 cm långt. Det funna skenbenet är bara 42 cm långt.

Svar: Skenbenet hör antagligen ihop med en annan person.        2 p

KONTROLL:

U11K_1

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 10

10.

I en rak cirkulär kon är en rak cirkulär cylinder placerad så, att cylinderns nedre basyta ligger på konens basyta och cylinderns övre kant tangerar konens mantelyta. Diametern av cylinderns basyta är lika stor som cylinderns höjd och samtidigt hälften så stor som diametern av konens basyta. Hur många procent av konens volym utgör cylinderns volym? Ge ditt svar med en noggrannhet av en tiondels procent.

______________________________________________________________________________

U10K_1

 

På bilden är trianglarna ABC och ADE likformiga. Motivering: Båda har en rät vinkel och en gemensam vinkel vid konens topp A.                                           1 p

En följd är att \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}                    1 p

\frac{2r}{r}=\frac{x+2r}{x}\quad \left| \cdot x \right.  , vilket kräver att x\ne 0

\begin{array}{l}2x=x+2r\\x=2r\end{array}                        1 p

Cylindern har volymen:

{{V}_{C}}=A\cdot h=\pi {{r}^{2}}\cdot 2r=2\pi {{r}^{3}}         1 p

Konen har volymen:

{{V}_{K}}=\frac{1}{3}\pi \cdot h=\frac{1}{3}\pi \cdot {{(2r)}^{2}}\cdot 4r=\frac{16}{3}\pi {{r}^{3}}                                                                                                   1 p

Den procentuella andelen:

\frac{{{V}_{C}}}{{{V}_{K}}}=\frac{2\pi {{r}^{3}}}{\frac{16}{3}\pi {{r}^{3}}}=\frac{3}{8}\approx 0,375

Svar: 37,5 %                                                                                             1 p

 

KONTROLL:
U10K_2

 

 

 

 

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 8

8.

Fred brukar besöka en lunchrestaurang som serverar tre olika slags pizzor: standardpizzor som kostar 7,50 euro, rågpizzor som kostar 8,50 euro och pannpizzor som kostar 10,50 euro. Kunden ska välja två fyllningar bland 15 alternativ. För tilläggspriset en euro kan kunden välja en tredje fyllning. Fred försöker alltid äta en pizza som avviker från alla tididgare i fråga om antingen botten eller fyllningar. 
a)
Hur många veckor kan han göra det om han äter på restaurangen fem gånger i veckan?
b)
Vilket är medelpriset för de olika pizzorna?

a)

Vi beräknar hur många olika pizza-alternativen är.  Vi kan välja 2 fyllningar av 15 på

\left( \begin{array}{l}15\\2\end{array} \right)=\frac{15!}{2!(15-2)!}=105 olika sätt

och 3 fyllningar av 15 på

\left( \begin{array}{l}15\\3\end{array} \right)=\frac{15!}{3!(15-3)!}=455 olika sätt.

Sammanlagt blir det 560 olika fyllningsmöjligheter.                1 p

Dessutom har vi tre olika pizzabotten. Sammanlagda antalet olika pizzor är då 3\cdot 560=1680.                                                                                    1 p

Om Fred äter 5 pizzor i veckan, räcker det \frac{1680}{5}=336 veckor att pröva sig igenom menyn.

Svar: 336 veckor                                                                            1 p

b)

Vi kartlägger alternativen: Det finns 105 alternativ med priset 7,50 € (standardpizza + 2 fyllningar), 455 + 105 = 560 alternativ med priset 8,5+ € (standardpizza + 3 fyllningar eller rågpizza + 2 fyllningar), 455 alternativ med priset 9,50 € (rågpizza + 3 fyllningar), 105 alternativ med priset 10,5+ € (pannpizza + 2 fyllningar och slutligen 105 alternativ med priset 11,50 € (pannpizza + 3 fyllningar).                                                           1 p

Medelpriset blir då: \frac{7,50\cdot 105+8,50\cdot 560+9,50\cdot 455+10,50\cdot 105+11,50\cdot 455}{1680}\approx 9,6458

Svar: Medelpriset är 9,65 €                                                           2 p

Kontroll:

Ingenting överväldigande här!

U8K_1

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 7

7.

Den tyske astronomen Johannes Kepler (1571 – 1630) upptäckte sambandet mellan en planets avstånd från solen och dess omloppstid. Låt symbolen x beteckna en planets omloppstid och låt symbolen ybeteckna dess avstånd från solen. Nedanstående tabell innehåller omloppstiden i år för de fem planeter som ligger närmast solen och deras avstånd från solen med den astronomiska enheten som mått.
2012-12-03 15-29-23 +00001

a)
Kopiera tabellen på ditt svarspapper och fyll i de värden som saknas med tre decimalers noggrannhet 
b)
Vilken är Keplers formel för avståndet y uttryckt med hjälp av omloppstiden x
c)
Saturnus har en omloppstid på 29,457 år. Hur långt från solen befinner sig Saturnus?

Vi tar teorin och kontrollen med räknaren lite om varandra här:

a)

Tabellen kan fyllas i direkt med hjälp av räknaren utan större problem:

2012-12-02 17-22-47 +00001

2 p

Kan man kontrollera detta på räknaren. Vi skriver in data i ett kalkylark:

U7K1U7K2

Här föreslås rubriker och planeternas namn skrivs in. Observera att listan måste skriva på fel led.

U7K3U7K4

I kolumnens kommandoruta matas ett likamedstecken in, följt av tredjeroten av kolumnen x. Frågerutan om kolumn- eller variabelreferens, besvaras med vaiabelreferens. Upprepa för y och roten av y:

U7K5

Här ser vi listorna.

Det finns en kontrollmöjlighet till. Vi kan ta den på Anteckningar-skärmen

U7K6

b)

Man kan avläsa MAOLs tabeller och konstatera att

\sqrt{y}=\sqrt[3]{x}                                                                1 p

eller

y=\left( \sqrt[3]{x} \right){}^{2}={{x}^{\frac{2}{3}}}             2 p

c)

Vi har x = 29,457. Enligt b-fallet har vi då:

y=\left( \sqrt[3]{29,457} \right){}^{2}\approx 9,538          2 p

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 6

6.

En viss japansk bilmodell förbrukar vid landsvägskörning i genomsnitt 6,8 liter bensin på hundra kilometer. Med en amerikansk bil i samma storleksklass kan man köra 32 engelska mil på en gallon bensin. Vilkendera bilen förbrukar minst bränsle? En gallon är ca 3,785 liter och en engelsk mil är ca 1,609 kilometer.  

Vi börjar med den amerikanska bilen. Den förbrukar en gallon på 32 engelska mil. Vi räknar om den färdsträckan:

{{x}_{1}}=32\cdot 1,609\ \text{km}\approx 51,488\ \text{km}              1 p

färdsträcka (km)    förbrukad mängd bensin

41,488                    3,785

100                         v

Vi beräknar förbrukningen på sträckan 100 km. Vi har en direkt proportionalitet mellan färdsträckan och mängden förbrukad bensin, alltså:

\frac{v}{100}=\frac{3,785}{51,488}                                          1 p

vilket multiplicerat med 100 ger:

v=\frac{3,785\cdot 100}{51,488}\approx 7,315\ \text{liter}

Eftersom den japanska bilen förbrukar 6,8 liter per 100 km, är den bränslesnålare.

Svar: Den japanska bilen förbrukar mindre bensin.                           4 p

KONTROLL:

Det finns ingenting konstigt i uppgiften, men vi ska undersöka en enkel kontrollmetod i alla fall. Vi använder Anteckningar-skärmen.

 

De färgade anteckningarna är gjorda i så kallade matematikrutor, som aktiveras med Ctrl-M.

Fördelen med Anteckningar-skärmen, är att man kan länka de olika variablerna. Då kan man lätt korrigera inmatningsfel eller ändra talvärden och få allt omräknat omgående.

SE Kort matematik hösten 2012 – uppgift 5

 

 

a)

Vi undersöker talföljden {{a}_{n}}=3+4n närmare. Vi beräknar skillanden mellan två på varandra följande termer:

\begin{array}{l}{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=3+4(n+1)-(3+4n)=\\=3+4n+4-3-4n=4\end{array}

Eftersom skillnaden mellan termerna är konstant, rör det sig om en aritmetisk talföljd.

Skillanden kan uttryckas som d={{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=4                              1 p

Vi beräknar första och sista termen i uppgiftens summauttryck:

\begin{array}{l}{{a}_{0}}=3+4\cdot 0=3\\{{a}_{22}}=3+4\cdot 22=91\end{array}

Antalet termer är n = 22 – 0 + 1 = 23                                                                              1 p

Vi beräknar summan:

{{S}_{n}}=\frac{n({{a}_{1}}+{{a}_{n}})}{2}=\frac{23(3+91)}{2}=1081

Svar: Summan är 1081                                                                                                       1 p

KONTROLL:

Man kan kontrollera resultatet direkt:

 

Om man vill undersöka talföljden ytterligare, finns flera alternativ. Vi kan t.ex. se på termerna:

 

b)

Vi undersöker först två på varandra följande termer och beräknar deras kvot:

\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{{{(-3)}^{n+1}}}{{{(-3)}^{n}}}={{(-3)}^{n+1-n}}=-3

Kvoten är konstant. Vi har alltså en geometrisk serie med förhållandet

q=\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=-3

mellan två på varandra följande termer.                                                     1 p

Första termen: {{a}_{2}}={{(-3)}^{2}}=9

Antalet termer i summan: n = 15 – 2 + 1 = 14                                             1 p

Då får vi summan: {{S}_{n}}=\frac{{{a}_{2}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}=\frac{9(1-{{(-3)}^{14}})}{1-(-3)}=-10761678

Svar: Summan är -10761678                                                                           1 p

KONTROLL:

Några möjligheter: