SE Lång matematik våren 2014 – uppgift 5

U5V14_t

________________________________________________________________________________________

Vi kan bena oss igenom detta stegvis:

29-07-2014 Skärmbild002

Vi matar in linjen och kontrollerar att punkten (8,6) verkligen ligger på den. verkar OK. Cirkeln ska tangera både den positiva x-axeln och linjen y = 3/4*x. Den bör uppenbarligen ligga på bissektrisen till vinkeln mellan linjen och axeln. Då får vi en konstruktion av följande slag: (OBS Detta är skisser)

29-07-2014 Skärmbild00329-07-2014 Skärmbild004

 

Bildens trianglar OAB och OBC är kongruent. Motivering: Hypotenusan OB är gemensam. AB och BC är radier i cirkeln och därför lika långa. Bissektrisen halverar vinkeln mellan linjen och x-axeln. Trianglarna är båda rätvinkliga. Två vinklar och en sida torde räcka. Bara att välja!

Vi kan nu t.ex. utnyttja att OA = OC. Vi kallar cirkeln medelpunkt x0 och y0.

29-07-2014 Skärmbild005

 

Eftersom vi använder den positiva x-axeln väljer vi x = 10

Vi vet också att AB = BC, vilket ger:

29-07-2014 Skärmbild006

Cirkeln har således radien 10/3 och medelpunkten (10,10/3).

Resultatet kan gott kontrolleras grafiskt (de gamla skisserna slopas och bilden bearbetas en aning)

29-07-2014 Skärmbild007

Annonser

SE Lång matematik våren 2014 – uppgift 4

U4V14_t

________________________________________________________________________________________

Det finns en uppenbar lösning. Om a = 0, har vi lösningen x = 2/5. Att påpeka det torde vara värt någon poäng till att börja med. Man kan också möjligen förbise denna lösning! Nu ska vi söka en mera omfattande undersökning. Vi antar nu att a inte är noll:

28-07-2014 Skärmbild00128-07-2014 Skärmbild002

Svar: a = 0 och a = 25/8 ger ekvationen en enda lösning.

Vi kan också roa oss med en grafisk undersökning genom att införa ett skjutreglage med variabeln a.

28-07-2014 Skärmbild00328-07-2014 Skärmbild004

28-07-2014 Skärmbild00528-07-2014 Skärmbild005 28-07-2014 Skärmbild006

Det kan vara besvärligt att komma nära värdet a = 25/8 med skjutreglaget, men det kan matas in direkt, vilket nästsista bilden visar!

 

SE Lång matematik våren 2014 – uppgift 3

U3V14_t

_______________________________________________________________________________

a)

Detta är en uppgift där en bestämd integral ska beräknas. Uppgiften är intressant, eftersom den nya uppdateringen av programmets mjukvara till version 3.9, erbjuder en möjlighet att direkt avbilda och beräkna arean av ett begränsat område. Vi börjar med en avbildning:

15-07-2014 Skärmbild001

 

Sedan går vi via menu-tangenten, välja 6: Analysera graf och följa instruktionerna på skärmen:

15-07-2014 Skärmbild004  15-07-2014 Skärmbild005

 

Vi har nu en grov uppfattning om svaret.

Sedan till en symbolisk behandling:

15-07-2014 Skärmbild006

Svar: ca 14,69

b)

15-07-2014 Skärmbild007

 

SE Lång matematik våren 2014 – uppgift 2

U2

________________________________________________________________

Den här uppgiften klarar man gott utan teknik om man vet vad man gör, men det hindrar inte oss från att experimentera en aning. Som en demonstration av hur man undersöker funktioner och derivator, om inte annat!

Den första funktionen f(x) ser ut att vara en parabel som öppnas nedåt. T.ex. följande beskriver situationen:

MaAV14U2_1

Den andra funktionen g(x) tolkas som ett polynom av tredje graden. Vi experimenterar lite:

MaAV14U2_2MaAV14U2_3

 

Tredje funktionen h(x) är linjär. Experiment:

MaAV14U2_4

Saken är klar!