Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 8

a)

Bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna y=12{{x}^{3}}-36x och y=-12{{x}^{2}}+36x.

b)

Mellan kurvorna finns två begränsade områden. Beräkna summan av dessa områdens areor.

_________________________________________________________________________

Vi börjar med en skiss och bestämmer skärningspunkterna grafiskt, för kontrollens skull:

V13LU8_1

Där ser vi a)-fallets svar.

Om vi vill ha en lösningsmetod, kan vi gå vidare på olika sätt. Vi kan t.ex. lösa ekvationssystemet:

V13LU8_2

Vi kan också lösa det hela stegvis. Här är ett förslag:

V13UL8_3V13U8L_4

b)

För att beräkna arean, definierar vi först (den positiva) skillnaden mellan funktionerna i de aktuella intervallen, varefter vi integrerar:

V13U8L9V13U8L_9

 

Svar: 253 areaenheter

Annonser

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 6

Sannolikheten för att blodgrupperna B och O förekommer är P(B) = 0,147 och P(O) = 0,33. En vampyr biter 12 människor. Beräkna sannolikheten för att det

a) i gruppen finns högst 9 människor som har blodgruppen O

b) i gruppen finns tre eller fyra människor som har blodgruppen B

_____________________________________________________________________________

a)

Vi inför lämpliga beteckningar:

\begin{array}{l}A:''\text{Av 12 m }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nniskor har h }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ gst 9 blodgruppen O''}\\\bar{A}:''\text{Av 12 m }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nniskor har minst 10 blodgruppen O''}\end{array}

Vi har att göra med ett slumpförsök, där den stpkastiska variabeln X är antalet personer med blodgruppen O. Vidare:

P(A)=1-P(\bar{A})

Sedan kör vi:

U5_V13_1

 

Sannolikheten är alltså ca 99,95 %

b)

U5_V13_2

 

Sannolikheten är ca 29,5 %

 

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 5

V13U5_1

Man kan lösa problemet på flera olika sätt med räknaren. Vi börjar med en snabbkoll. Vi avbildar funktionen grafiskt för att skapa oss en bild av situationen:

U5V13_1

Sedan till en noggrannare analys. Vi börjar med att derivera och kontrollera derivatan nollställen:

U5V13_2

Här är derivatan beräknad. Genom teckenkontroll kan man fastställa att det är fråga om ett maximum för funktionen i punkten x = 4. Största värdet är således f(4)=7{{e}^{-4}} eller ca 0,128.

Vilket är minsta värdet? Nu blir det lite knepigt. Vi borde bevisa att då x > 4 är funktionens värde alltid positivt. Eftersom {{e}^{-x}} är större än noll, räcker det med att undersöka delfunktionen {{x}^{2}}-x-5.

U5_v13_1U5_v13_2

 

På grund av uppgiftens text, intresserar bara det positiva nollstället, som ligger mellan 0 och 4. Då x > 4, saknas nollställen! Funktionen är då vidare strängt avtagande och går mot värdet noll. Då x ligger mellan 0 och 4 är funktionen strängt växande. Minsta värdet bör då vara  f(0)=-5

Också andra resonemang är möjliga!

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 4

4.

Beräkna det exakta värdet för arean av den rätvinkliga triangeln ABC i figuren.

V13U4_1

______________________________________________________________________

Vi betecknar skärningspunkten mellan AB och höjden med D:

V13U4_2

 

Trianglarna ADC och DBC är likformiga eftersom vardera innehåller en rät vinkel och \measuredangle CAD={{90}^{\text{o}}}-\measuredangle ACD=\measuredangle BCD.

Av likformigheten följer, då höjden DC betecknas h:

V13U4_3

 

Svar: arean = 5\sqrt{21}

Det finns dessutom goda möjligheter till en geometrisk kontroll:

V13U4_4 V13U4_5

 

 

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 3

3.

a)

Beräkna det exakta värdet av uttrycket {{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}}, när de positiva talen a och b är varandras inverterade tal och medelvärdet av a och b är 2.

b)

Förenkla uttrycket \left( {{x}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{1}{3}}} \right)\cdot \left( {{x}^{\frac{2}{3}}}-{{x}^{\frac{1}{3}}}{{y}^{\frac{1}{3}}}+{{y}^{\frac{2}{3}}} \right)

___________________________________________________________________________

a)

Det finns några olika möjligheter här. En av dessa är följande:

V13U3_1V13U3_2

 

 

b)

Direkt kontroll:

V13U3_3

Också steg kan kontrolleras, t.ex.

V13U3_4

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 2

2013-03-31 16-57-35 +00001__________________________________________________________________________

a)

Direkt beräknat:

V13U2_2

b)

Vektorerna matas in. Fyrkantsklammern betecknar en vektor. Vid inmatning skiljs komponenterna åt med skiljekomma.

V13U2_3

 

c)

Här kan vi bli tvungna att jobba lite mera. Räknaren bör ställas in på vinkelmåttet radianer. Vi kan börja med att rita en enhetscirkel på grafskärmen och markera in de vinklar som har sinusvärdet 1/4. Enhetscirkeln matas in via menu, grafinmatning och ekvation. Detta kräver möjligen ett uppdaterat operativsystem. Efter zoomning:

V13U2_5V13U2_6

 

Linjen f(x) = 1/4 dras ut. Eftersom sinus markeras på y-axeln, cosinus på x-axeln och vinkeln α på bilden är den som stämmer överens med textens begränsningskriterier, ser vi ett närmevärde för cos α. Detta är 0,968.

Nu ska vi beräkna ett exakt värde:

V13U2_8

 

 

 

 

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 1

1.

Vi tar texten på en Anteckningarskärm:

Maa13u1_1

__________________________________________________________________

a)

Vi kan börja med en rutinkontroll:

V13U1_1V13U1_2

Delstegen kan också kontrolleras, vilket sker på bilden till höger.

b)

Samma tricks här:

V13U1_3 V13U1_4

c)

I det här fallet finns intressanta beräknings- och kontrollmöjligheter. Vi väljer ett par sådana och utnyttjar Anteckningar-skärmen:

V13U1_5V13U1_6

Vi kan också placera in punkterna på en grafskärm, dra en linje igenom dem, kontrollera linjens ekvation osv.

V13U1_7