Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift *15

a)

En cirkel, vars radie r>frac{1}{2}, placeras in i parabeln y={{x}^{2}} enligt figuren. Visa att cirkelns medelpunkt har y-koordinaten  {{r}^{2}}+frac{1}{4}     (3 p.)

2013-05-28 06-14-03 +00001

b)

Vi får cirkeln {{C}_{1}} genom att i deluppgift a välja r={{r}_{1}}=1. Vi placerar in en annan cirkel {{C}_{2}}, som tangerar {{C}_{1}} och parabeln. Genom att fortsätta på samma sätt, får vi en följd av cirklar {{C}_{1}}{{C}_{2}}{{C}_{3}}, … Bestäm radien för cirkeln {{C}_{2}}.        (2 p.)

c)

Visa att radierna {{r}_{n}} och {{r}_{n+1}} för två efterföljande cirklar {{C}_{n}} och {{C}_{n+1}} uppfyller rekursionsformeln {{left( {{r}_{n+1}} right)}^{2}}-{{r}_{n+1}}={{(r{}_{n})}^{2}}+{{r}_{n}} för varje n = 1, 2, 3, …       (2 p.)

d)

Visa med deluppgift c att {{r}_{n+1}}={{r}_{n}}+1 för varje n = 1, 2, 3, …    (2 p.)

2013-05-28 06-38-46 +00001

_______________________________________________________________________________

a)

Här är det frestande att utnyttja räknarens möjligheter till visualisering. Följande experiment är alltså inte en del av själva lösningen:

V13U15_1V13u15_2V13u15_3V13u15_4

Vi börjar med att konstruera parabeln och rita ut en tangent till densamma. Sedan konstruerar vi normalen till tangenten i tangeringspunkten. Sedan konstruerar vi en cirkel med medelpunkten i normalens skärningspunkt med y-axeln och periferin på tangeringspunkten. Normalen göms och istället konstrueras ett segment mellan tangeringspunkten och cirkelns medelpunkt.

Sedan placerar vi ut några koordinater och mått:

V13u15_5

Ser alltså lovande ut!! Systemet är givetvis dynamiskt. Man kan förändra tangeringspunkten och följa med vad som händer.

Sedan till beräkningarna:

Vi benämner cirkelns medelpunkt: M(0,b) och tangeringspunkten T(a,{{a}^{2}}). Cirkelns radie benämner vi r.

Eftersom y={{x}^{2}} och alltså {y}'=2x, måste parabelns derivata i tangeringspunkten (a,{{a}^{2}}) ha riktningskoefficienten 2a. Cirkelns tangent i denna punkt har samma riktningskoefficient. Tangentens normal har för sin del riktningskoefficienten -frac{1}{2a}. En linje genom punkterna M och T har då ekvationen

V13U15_6

För cirkeln gäller:

V13U15_7

Vi har alltså en ekvation för cirkeln av typ {{r}^{2}}={{a}^{2}}+{{left( frac{1}{2} right)}^{2}}. För alla positiva värden för a hittar vi alltså en cirkel som tangerar parabeln i punkten (a,{{a}^{2}}). Cirkeln har radien r(a)=sqrt{{{a}^{2}}+frac{1}{4}}.

Radien som funktion är monoton och växer mot oändligheten då a växer mot oändligheten. Vidare gäller r(0)=frac{1}{2}, vilket betyder att den minsta cirkeln har radien 1/2 då a = 0.

Sedan kombinerar vi de resultat vi fått:

V13U15_8

vilket vi ville bevisa!

b)

V13U15_10

Ur grafen kan vi avläsa:

V13U15_11

Negativa värdet förkastas. Alltså om {{r}_{1}}=1 är {{r}_{2}}=2.

c)

V13U15_12

 

I detta c)-fall har räknarens CAS-egenskaper inte i sig utnyttjats, men observera möjligheten att via textformatering indexera!

d)

Vi fortsätter i samma anda som i c)-fallet:

V13U15_13V13U15_14

 

 

Annonser

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift *14

Anta att P(x)={{x}^{2}}+x-2.

a) Dela P(x) i faktorer av första graden   (2p)

b) Bestäm konstanterna A och B, så att \frac{1}{P(x)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}, för varje x\ge 2.    (2p)

c) Bestäm integralfunktionerna till funktionen \frac{1}{P(x)}, då x\ge 2.    (2p)

d) Beräkna den generaliserade integralen \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{1}{P(x)}dx}.    (3p)

__________________________________________________________________________________

a) Här visas ett par möjligheter:

V13MAA14_1

b)

Här återges ett möjligt resonemang:

V13MAA14_2V13MAA14_3

Så fick vi alltså numeriska värden på A och B.

c)

Den korta versionen är förstås (observera att integrationskonstanten saknas!!!):

V13MAA14_4

Det här är antagligen för mycket ”genväg” för att garantera poäng. I stället ser vi på några möjliga delsteg:

V13MAA14_6

Observera att ovan har de olika delstegen skrivits ut av bloggaren – inte allts beräknats av räknaren! Man kan ändå kontrollera delsteg! T.ex:

V13MAA14_7

d)

Också nu kan vi ta en snabbkontroll först:

V13MAA14_8

Detaljer:

V13MAA14_10V13MAA14_11

Lyckades tydligen!

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 13

Sanningstabellen för konnektivet \square är

2013-05-22 13:25:11 +00001

a) Bilda sanningstabellen för satsen A\square (A\square B)

b) presentera satsen A\square (A\square B) i en sådan form, att endast konnektiven \neg ,\text{ }\vee eller \wedge förekommer.

___________________________________________________________________________

CAS-tekniken kan inte direkt utnyttjas i denna uppgift, utan möjligen via mera omfattande programmering. Vi löser uppgiften och ser om vi får med tekniken i något delskede.

a) Denna del av uppgiften löser vi mekaniskt:

2013-05-22 13:24:35 +00001

b)

Det är uppenbart att följande gäller:

2013-05-22 13:33:55 +00001

 

Detta stämmer överens med sanningstabellen för A\square (A\square B).

Vi har en lösning!

Det finns en viss möjlighet att jobba med kommandona and samt or på räknaren.

V13MAA13_1V13MAA13_2

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 12

En rektangel har en sida på x-axeln och två hörn på kurvan y = cos x, då -\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}.

a) Bilda ett uttryck för rektangelns area A(t) som funktion av variabeln 0<t<\frac{\pi }{2} som är utmärkt i figuren.

b) Bestäm nollstället för derivatan av funktionen A(t) med två decimalers noggrannhet genom att använda en numerisk metod som du själv väljer.

c) Bestäm med en decimals noggrannhet närmevärdet för rektangelns största möjliga area.

2013-05-19 07-55-42 +00001

________________________________________________________________________a)

a)

V13MAA12_1

På bilden ovan har vi använt faktumet att \cos (t)=\cos (-t), vilket ger arean

A(t)=2t\cdot \cos (t) då 0<t<\frac{\pi }{2}

b)

Vi deriverar

V13MAA12_2

Att söka nollstället för detta uttryck UTAN cas-teknik, kräver en numerisk metod. Vi väljer t.ex. Newtons metod. Då måste vi derivera uttrycket en gång till och göra en gissning. Vi väljer t.ex. gissningen {{t}_{0}}=1.

V13MAA12_3V13MAA12_4

På högra bilden ses ”formeln” för Newtons metod. Sedan är det bara att trycka på Enter för att driva fram närmevärdet:

V13MAA12_6

Svaret är alltså uppenbart att derivatans nollställe är ca 0,86

c)

Här bör vi göra en teckenanalys. vi kontrollerar numeriskt:

V13MAA12_7V13MAA12_8

 

Arean ha alltså ett maximumvärde för t = 0,86 och detta är ca

V13MAA12_9

 

Alltså ca 1,1 area-enheter!

 

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 11

För vilket värde på variabeln x är talflöjden

\ln 2,\text{ }\ln ({{2}^{x}}-2),\text{ }\ln ({{2}^{x}}+2)

aritmetisk?

__________________________________________________________________

Om talföljden ska vara aritmetisk, bör skillnaden mellan två p varandra följande termer, vara konstant. Alltså:

V13MAA11_1

 

På första raden skrivs skillnaderna mellan termerna lika med varandra. Räknaren förenklar delvis detta resultat (vänstra ledet). Högra ledet åtgärdar vi motsvarande själva och så fortsätter vi enligt bilderna:

V13MAA11_3 V13MAA11_4

Resukltatet på sista raden är lätt att lösa med produktregeln. Eftersom {{2}^{x}}=0, saknar lösning, räcker det med att ”processa parentesen”.

V13MAA11_5

 

Svaret ses på sista raden ovan. Vi kan ännu beräkna en snabb kontroll:

V13MAA11_6

Ser ut att fungera alltså!

 

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 10

I kuben nedan är kantens längd 2. I kuben finns en kjusröd boll, som tangerar varje sidoyta i kuben. I ett hörn av kuben finns en mindre, blå boll, som tangerar den stora bollen och tre av kubens sidoytor enligt figuren. Beräkna det exakta värdet av den blå bollens radie.

V13MaauU10_1

_____________________________________________________________________

V13MAA10_2

Vi benämner avståndet från större bollens medelpunkt till kubens hörn a (röd) och motsvarande för lilla bollen b (grön). Eftersom den stora bollen tangerar kubens hörn, gäller a=\sqrt{r_{s}^{2}+r_{s}^{2}+r_{s}^{2}}=\sqrt{3r_{s}^{2}}=\sqrt{3}{{r}_{s}},där {{r}_{s}} är den stora bollens radie. Motsvarande gäller för den lilla bollen b=\sqrt{r_{l}^{2}+r_{l}^{2}+r_{l}^{2}}=\sqrt{3r_{l}^{2}}=\sqrt{3}{{r}_{l}}

Dessutom: a={{r}_{s}}+{{r}_{l}}+b

Vi processar detta:

V13MAAu10_3

 

Eftersom den stora bollens radie har längden 1, innebär det ovanstående att den lilla bollens radie har storleken 2-\sqrt{3} längdenheter!

Också andra resonemang är möjliga.

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 9

Lös ekvationen cos(2x) + cos(3x) = 0

_____________________________________________________________

V13MAAU9_1

Bilden kan avläsas så att cos β = – cos α, innebär att β = π – α eller β = π + α.

Detta kan nu tillämpas:

V13Maa9_1V13Maa9_2

Ena lösningen till vänster, andra till höger. Till slut en snabbkontroll (inte fullständig, men i alla fall):

V13Maa9_4