SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 11

11.

a)
I en geometrisk talföljd är två på varandra följande termer rationella tal. Visa att alla termer i talföljden är rationella tal.
b)
I en geometrisk följd är åtminstone två av termerna rationella. Visa att antalet rationella termer är oändligt.

a)

Talföljden är geometrisk. Talföljdens n:te term är av typen

{{a}_{n}}=a\cdot {{q}^{n-1}}

Vi antar här att n\in {{\mathbb{Z}}_{+}}. Om a = 0 är alla termer 0 och antagandet gäller. Vi undersöker alltså fallet a är olika noll, vilket också gäller samtliga andra termer.

Antagandet innebär att det finns ett tal k\in {{\mathbb{Z}}_{+}} sådant att {{a}_{k}},{{a}_{k+1}}\in \mathbb{Q}. Då måste förhållandet

\frac{{{a}_{k+1}}}{{{a}_{k}}}=\frac{a\cdot {{q}^{k}}}{a\cdot {{q}^{k-1}}}=q                 1 p

också vara ett rationellt tal.

Eftersom q\in \mathbb{Q}, måste {{q}^{k}} som en produkt av rationella tal också vara rationellt. Vi kan då skriva: {{a}_{k+1}}=a\cdot {{q}^{k}} eller a=\frac{{{a}_{k+1}}}{{{q}^{k}}}, vilket är rationellt.                                                                    1 p

Av det följer att varje element i talföljden {{a}_{n}}=a\cdot {{q}^{n-1}} är en produkt av rationella tal och därför i sig själv ett reellt tal.                                                                          1 p

Några kontrollmöjligheter:

U11_1

Inte ett bevis minsann, men intressant som simpel arbetsmöjlighet. Kan utvecklas!

b)

Vi använder samma beteckningar som ovan.

Enligt antagandet finns det s,t\in {{\mathbb{Z}}_{+}}, sådana att

\frac{{{a}_{t}}}{{{a}_{s}}}=\frac{a\cdot {{q}^{t-1}}}{a\cdot {{q}^{s-1}}}={{q}^{(t-1)-(s-1)}}=q{}^{t-s}                                                                                                           1 p

Detta är ett rationellt tal (enligt antagandet).

Vi betecknar: p=q{}^{t-s} varvid talföljden har element av typen

a{}_{s+k(t-s)}={{a}^{s+k(t-s)-1}}=a\cdot {{q}^{s-1}}\cdot {{q}^{(t-s)k}}={{a}_{s}}\cdot {{p}^{k}}

där k är ett naturligt tal. Eftersom dessa tal är produkten av rationella tal, är de rationella. Det finns dessutom oändligt många tal av denna typ. Antagandet är sant.                  2 p

Kontroll:

U11L_2

Också andra möjligheter finns.

 

Annonser

SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 9

8.

Låt

\begin{array}{l}\bar{a}=(\cos \varphi -2\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi +2\cos \varphi )\bar{k}\\\bar{b}=(\cos \varphi +\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi -\cos \varphi )\bar{k}\end{array}

a) Visa att vektorerna {\bar{a}} och {\bar{b}} är vinkelräta mot varandra för alla \varphi \in \mathbb{R}

b) Låt \varphi =0. Finns det sådana koefficienter s,t\in \mathbb{R} att \bar{i}-\bar{j}=s\bar{a}+t\bar{b}

___________________________________________________________________________

Vi tar den teoretiska delen först och kontrollerar sedan.

Vektorerna är vinkelräta om vardera vektorn är olika nollvektorn och deras deras punktprodukt är noll. Vi undersöker punktprodukten:

\bar{a}\cdot \bar{b}=\left[ (\cos \varphi -2\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi +2\cos \varphi )\bar{k} \right]\cdot \left[ (\cos \varphi +\sin \varphi )\bar{i}+\bar{j}+(\sin \varphi -\cos \varphi )\bar{k} \right]

=(\cos \varphi -2\sin \varphi )\cdot (\cos \varphi +\sin \varphi )+1+(\sin \varphi +2\cos \varphi )\cdot (\sin \varphi -\cos \varphi )

={{\cos }^{2}}\varphi +\cos \varphi \sin \varphi -2\sin \varphi \cos \varphi +2{{\sin }^{2}}\varphi +1+{{\sin }^{2}}\varphi -\sin \varphi \cos \varphi +2\cos \varphi \sin \varphi -2{{\cos }^{2}}\varphi                                                         1 p

=1-{{\sin }^{2}}\varphi -{{\cos }^{2}}\varphi =1-({{\sin }^{2}}\varphi +{{\cos }^{2}}\varphi )=1-1=0                                                                        1 p

Vektorerna är alltså vinkelräta.                            1 p

Up9L_1

b)

Vi väljer nu \varphi =0 vilket ger:

\begin{array}{l}\bar{a}=(\cos 0-2\sin 0)\bar{i}+\bar{j}+(\sin 0+2\cos 0)\bar{k}=\bar{i}+\bar{j}+2\bar{k}\\\bar{b}=(\cos 0+\sin 0)\bar{i}+\bar{j}+(\sin 0-\cos 0)\bar{k}=\bar{i}+\bar{j}-\bar{k}\end{array}         1 p

Sedan väljer vi s,t\in \mathbb{R} och

\begin{array}{l}s\bar{a}+t\bar{b}=s\left( \bar{i}+\bar{j}+2\bar{k} \right)+t\left( \bar{i}+\bar{j}-\bar{k} \right)=\\(s+t)\bar{i}+(s+t)\bar{j}+\left( 2s-t \right)\bar{k}\end{array}

Sedan undersöker vi villkoret s\bar{a}+t\bar{b}=\bar{i}-\bar{j}

Vi har alltså:

\left\{ \begin{array}{l}s+t=1\\s+t=-1\\2s-t=0\end{array} \right.

1 p

vilket saknar lösning (de två första ekvationerna kan inte gälla samtidigt).

De sökta talen s och t existerar inte.                     1 p

U9L_3_edited-1

Kontrollen kan givetvis ske på andra sätt också!

 

SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 8

8.

En professor ska enligt arbetsschemat hålla en föreläsning om dagen under veckans fem arbetsdagar. Men professorn är mycket upptagen och hinner inte hålla alla föreläsningar. Varje dag är sannolikheten för att han ska hålla sin föreläsning 80 %.
a) Hur stor är sannolikheten för att professorn ska hinna hålla alla sina föreläsningar under en vecka?
b) Hur stor är sannolikheten för att han ska missa bara en av de fem föreläsningarna?
c) Bestäm väntevärdet av antalet föreläsningar som professorn håller under en vecka.

Vi använder följande beteckningar:

P(”professorn hinner hålla sin dagliga föreläsning”) = p

P(”professorn hinner inte hålla sin dagliga föreläsning”) = q

Då gäller: p = 0,8 och q = 1-p = 0,2

a)

A = ”Professorn hinner hålla samtliga 5 föreläsningar”

P(A)={{p}^{5}}={{0,8}^{5}}\approx 0,3277

Svar: 32,8 %                                                                                             2 p

Kontroll tar vi på Anteckningar-skärmen:

U8L_1

b)

B = ”professorn missar (exakt) en föreläsning av 5”

Nu är det fråga om en binomialsannolikhet med n = 5 och k = 4:

P(B)=\left( \begin{array}{l}n\\k\end{array} \right){{p}^{6}}{{q}^{n-k}}=\left( \begin{array}{l}5\\4\end{array} \right)\cdot {{0,8}^{4}}\cdot {{0,2}^{5-4}}\approx 0,4096        1 p

Svar: 41,0 %                                                                                                                   1 p

Nu finns det olika kontrollmöjligheter. Vi undersöker några:

U8L_2

Sedan undersöker vi vad menu-tangenten har att erbjuda. Genom att navigera via statistikberäkningar och välja binomialfördelningen, kan vi beräkna:

U8L_4

Kommandot ger sannolikheterna för 0, 1, 2 osv missade föreläsningar av 5.

c)

För att beräkna vätevärdet, måste vi känna till sannolikheterna för de enskilda antalet missade timmar: (Observera att dessa sannolikheter redan är beräknade ovan)

2012-12-11 06-34-59 +00001

Väntevärdet för antalet hållna föreläsningar under veckans fem dagar blir då:

E(X)=\sum\limits_{i}{{{p}_{i}}{{X}_{i}}=0,00032\cdot 0+0,0064\cdot 1+...+0,32768\cdot 5=4}

Svar: Väntevärdet är 4                                                             1 p

Kontroll! Man kan räkna ”lång vägen”, men det finns andra kontrollmöjligheter, t.ex:

U8L_5

 

 

Studentexamen i lång matematik våren 2012 – uppgifterna 10-15

a)

Vi börjar med lite resonemang på räknarskärmen (vinkelmått RADIANER):

Ser bra ut!

Vi kan också kontrollera resultatet grafiskt:

b)

Stämmer (efter teckenändring).

Vi har nu två alternativ:

Svaren är alltså x = +- pi/3 + n*2pi och x = n*2pi

Vi kontrollerar än en gång på olika sätt:

I det här exemplet har räknaren inte använts aktivt, utom i sista steget. Exemplet visar ändå att räknaren kan användas för att följa med ett resonemang, lagra det för eget bruk, eller använda det för demonstration.

a)

Om d12=2 uppfylls villkoret.

b)

c)

Lösningen är inte den elegantaste möjliga, men svaret är d3 = 8

Här demonstreras kort Newtons lösningsmetod:

Innan vi startar, kan en snabb kontroll vara motiverad:

Sedan till den numeriska lösningen:

Första skärningspunkten är alltså: (-0,89;1,89)

De två andra bestäms motsvarande med t.ex. gissningarna x1 = 1 och x1 = 4

a)

b)

c)

Det kan vara skäl att kontrollera en aning:

Den visuella granskningen ser lovande ut!

a)

Vi kan på bilden rita in en rätvinklig triangel, med kateterna d och r2-r1. Hypotenusan i de är h=r2+r1.

b)

Vi kallar den tredje cirkelns radie r3 och konstruerar lite:

c)

De två leden är uppenbart lika!

Studentexamen i lång matematik våren 2012 – uppgifterna 7-9

Vi utnyttjar nu räknarskärmen och jobbar oss igenom uppgiften stegvis. Observera hur funktionen definieras (med define och vanligt likamedstecken). Observera också att du måste mata in multiplikationstecken (”gånger”) i funktionen!

Det faktum att funktionen går genom punkten (0,1/t), ger oss ett värde på c:

Nu vet vi c. Sedan deriverar vi:

Vi utnyttjar nu tangeringtspunkten med x-axeln:

Vi har nu a och c definierade som funktioner av t. Återstår alltså b och hela funktionen:

Här är svaret på a)-fallet!

Sedan integrerar vi:

Den bestämda integralen leder till numeriska värdet 1/3 , vilket är oberoende av t.

a)

Vi börjar med en snabb grafisk kontroll:

Här ser man att 50%-gränsen uppnås på ca 11 dygn, samt att funktionen verkar vara strängt växande, vilket dock bör bevisas.

En noggrannare analys görs nu med grafskärmen. Observera att uträkningar gör i kommentarform. Ingenting beräknas automatiskt denna gång. Slutkontroll är ändå möjligt att utföra!

I den sista rutan kontrolleras resultatet!

b)

Nu deriverrar vi:

Kan man kontrollera detta? Ett sätt är att flytta sig uppåt med kursorn och måla uttrycket (Shift-knappen intryckt och kursorhjulet). Sedan trycker man på Ctrl-C (kopiera). Tryck på Enter.

Man kan ibland bli tvungen att trycka på Ctrl-V (klistra in), speciellt om man vill klistra in någonting i ett längre uttryck.

Räknaren utvecklar uttrycket till en något jobbig numerisk form, men…

Den direkta deriveringen visar att vårt resonemang håller streck!

Nämnaren i rutan ovan är alltid positiv, vilket innebär att hela funktionen alltid antar positiva värden. Då är f(t) strängt växande (vilket i detta fall speciellt gäller då t>0!

c)

Vi ska undersöka gränsvärdet för f(t) då  t går mot oändligt.

Vi tar det i två steg:

Vi har nu beräknat och lagrat ett värde för h. (Lagring sker med sto eller Ctrl-var).

Ringens area blir slutligen:

Arean är alltså ca 68 kvadratcentimeter.

Studentexamen i lång matematik våren 2012 – uppgifterna 4-6

Vi löser problemet på Anteckningar-skärmen:

Vår vektor är alltså: a = 2i + 3j +- 3k

Vi börjar med en grafisk kontroll, för att kartlägga vart vi är på väg:

Sedan till Anteckningar:

Derivatans nollställe är ett maximum, vilket kan fastställas via prövning!

Maximumvärdet är alltså 1/e eller ca 0,368

Vi använder Anteckningar. De olika spelarnas målsannolikheter skrivs in och sannolikheten för åtminstone ett mål beräknas.

P(åtminstone ett mål) = 1 – P(inget mål)

För att beräkna väntevärdet för antalet mål, krävs att vi vet sannolikheterna för exakt 0 mål, ett mål osv. Vi beräknar dessa:

Väntevärdet är alltså ca 1,94 eller ca 2 mål!

Studentexamen i lång matematik våren 2012 – uppgifterna 1-3

Här presenteras lösningsförslag till uppgifterna. De är INTE avsedda att vara fullständiga lösningar, utan bara några förslag och exempel på hur CAS kan utnyttjas.

Ingenting konstigt i a)-fallet. Kontroll kan göras direkt via grafskärmen.

I b)-fallet kan man använda skärmen ”Anteckningar” och undersöka delsteg. Om man bara skriver text, lagras den som sådan. Med kommandot Ctrl-M kan man aktivera matematikrutor. Då kan man göra beräkningar på Anteckningar-skärmen. Observera hur man tilldelar funktionerna sina värden på denna skärm. Likamedstecken (=) har ersatts av :=

I c)-fallet väljs Anteckningar igen:

Här har varje steg kopierats med Ctrl-C och klistrats in i parenteser med Ctrl-V. I parenteserna kan beräkningar utföras med hela uttrycket!

De tre första fallen kan kontrolleras direkt.

I c)-fallet kan regeln ln(a)+ln(b) = ln(ab) användas. Kontroll:

I d)-fallet kan teorin cos(x)=cos(x+2*pi) testas (på Anteckningsskärmen):

e)-fallet kan också delundersökas:

liksom f)

Det finns flera lösningsmöjligheter. Vi kan konstruera vektorer längs triangelns sidor och konstatera vinkelrätheten via punktprodukten (= 0 för  vinkelräta vektorer, olika nollvektorn). Vi kan mäta längden på triangelns sidor och använda Pythagoras sats osv.

Vi jobbar här med vektorer på Anteckningsskärmen: