SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 3

3.

a) Bestäm värdet av derivatan av funktionen

f(x)=\frac{1}{2}{{e}^{x}}(\sin x+\cos x)

för x = 0.

b) Beräkna det exakta värdet av integralen

\int\limits_{0}^{1}{\left( 1+\sin \frac{x}{3} \right)dx}

a)

Vi kör en kontroll på Anteckningar-skärmen. Ställ in räknaren på radianer!

Beräkningar som bör skrivas ut:

{{f}^{'}}(x)=\frac{1}{2}{{e}^{x}}(\sin x+\cos x)+\frac{1}{2}{{e}^{x}}(\cos x-\sin x)      1 p

\frac{1}{2}{{e}^{x}}\sin x+\frac{1}{2}{{e}^{x}}\cos x+\frac{1}{2}{{e}^{x}}\cos x-\frac{1}{2}{{e}^{x}}\sin x={{e}^{x}}\cos x

1 p

x = 0 har vi:

\begin{array}{l}\frac{1}{2}{{e}^{x}}\sin x+\frac{1}{2}{{e}^{x}}\cos x+\frac{1}{2}{{e}^{x}}\cos x-\frac{1}{2}{{e}^{x}}\sin x={{e}^{x}}\cos x\\{{f}^{'}}(0)={{e}^{0}}\cos 0=1\end{array}           1 p

Finns det möjligheter till kontroll med räknaren? Vi använder här deriveringsegeln för en produkt av två funktioner D(g(x)\cdot h(x))=Dg(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot Dh(x)

Några små kontrollmöjligheter har vi alltså:

Det verkar ju bra!

b)

Också här väljer vi vinkelmåttet radianer och tar kontrollen via Anteckningar:

Det finns inte mycket att tillägga. I provet bör följande finnas med:

\int\limits_{0}^{\pi }{\left( 1+\sin \frac{x}{3} \right)dx=\underset{0}{\overset{\pi }{\mathop{/}}}\,\left( x-3\cos \frac{x}{3} \right)}                                       2 p

=\left( \pi -3\cos \frac{\pi }{3} \right)-\left( 0-3\cos \frac{0}{3} \right)

=\pi -3\cdot \frac{1}{2}-(-3\cdot 1)=\pi +\frac{3}{2}              1p

Annonser

SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 4

4.

a)

\alpha \in \left[ \pi ,\frac{3\pi }{2} \right] och \cos \alpha =-\frac{1}{3}

Vi använder: {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha =1

och får: \sin \alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }

Vi analyserar läget och avgör tecknet med hjälp av enhetscirkeln:

Bilden visar att vi bör välja den negativa lösningen.

\begin{array}{l}{{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha =1\\\sin \alpha =-\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }\end{array}

insättning av \cos \alpha =-\frac{1}{3} ger

\sin \alpha =-\sqrt{1-{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}}

\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}         1 p

Sedan bestämmer vi \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }

Insättning av ovan beräknade resultat:

\frac{2\sqrt{2}}{3}

Svar:  \sin \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3},\ \ \tan \alpha =2\sqrt{2}            1 p

Kalkylatorns kontrollmöjligheter? Man kan arbeta vidare på olika sätt. Ett förslag:

De två översta raderna är bara ett sätt att kontrollera formelns giltighet!

Det finns andra möjligheter. Man kan t.ex. rita enhetscirkeln på en geometriskärm och kontrollera geometriskt om tiden räcker till.

Uppgiften visar det att kalkylatorn inte täcker alla eventualiteter. Man måste klara en hel del matematik ”själv”.

b)

Vi använder cosinus-satsen:

{{a}^{2}}=3{}^{2}+{{2}^{2}}-2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos ({{30}^{\text{o}}})      1 p

{{a}^{2}}=9+4-12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

{{a}^{2}}=13-6\cdot \sqrt{3}

{{a}^{2}}=13-6\cdot \sqrt{3}                                                                                 1 p

Vi acceperar den positiva lösningen:

Svar: Den tredje sidan har längden: a=\sqrt{13-6\sqrt{3}}\approx 1,61 längdenheter

1 p

Kontroll! OBS: Vinkelmåttet är grader!

SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 2

2.

a)

Vi börjar med en snabb kontroll:

Vi ser alltså att uttryckets definitionsmängd är x är olika noll och att svaret ser ut att vara 4. Steg:

Klappat och klart!

Möjlig bedömning:

{{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}=       1 p

{{x}^{2}}+2+\frac{1}{{{x}^{2}}}-\left( {{x}^{2}}-2+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=4    1 p

b)

Kontroll:

Definitionsområde: x olika -3. Resultat: x – 3

Stegen:

De två sista raderna visar hur man kan kontrollera att man resonerat rätt.

Möjlig bedömning:

\frac{{{x}^{2}}-9}{x+3}=\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}=         1 p   (kvadrering av ett binom)

=x+3                                                                                 1 p

c)

Lite större utmaning den här gången! Räknaren ger inte nödvändigtvis direkt ett vackert svar!

Vi börjar med beräkningarna och slutar med en kontroll! Vi använder formeln

\ln \left( \frac{a}{b} \right)=\ln (a)-\ln (b) flitigt!

Möjlig bedömning:

Definitionsmängd: x>0

\ln \frac{x}{2}+\ln \frac{{{e}^{x}}}{x}+\ln 2=\ln x-\ln 2+\ln {{e}^{x}}-\ln x+\ln 2        1 p

=\ln {{e}^{x}}=x                                                                                                               1 p

Kontroll:

Bra! Nåja! Man visserligen konstatera att \ln (x)+\ln \left( \frac{1}{x} \right)=\ln \left( x\cdot \frac{1}{x} \right)=\ln (1)=0, men det sker inte per automatik! Återstår att experimentera sig fram. Några möjligheter:

Räknaren klara inte av detta enkelt. Man behöver egen kunskap.

Ett alternativt sätt at kontrollera resultatet, är en grafisk kontroll:

Om man ritar ut linjen f(x) = x, har vi samma graf då x är större än noll.

SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 1

Lösningar

a)

Vi kunde starta med att kartlägga svaren. Sedan tar vi delstegen:

Svaret ser ut att vara x = -1/12

Delsteg: ( Vi använder Anteckningar-Skärmen)

Här visas hur man kan utveckla ekvationen. Det lönar sig att använda ”Måla, klippa och klistra” så mycket som möjligt!

Möjlig poängsättning:

\begin{array}{l}2(1-3x+3{{x}^{2}})=3(1+2x+2{{x}^{2}})\\2-6x+6{{x}^{2}}=3+6x+6{{x}^{2}}\end{array}

1 p

x=-\frac{1}{2}

1 p

b)

Kontroll på räknarskärmen:

Svaret är tydligen x = -1/2.

Steg:

Möjlig bedömning:

Då x < 0:

\begin{array}{l}-x=1+x\\-2x=1\ \ \left| :2 \right.\\x=-\frac{1}{2}\end{array}

x\ge 0

x=x+1

0=1

vilket inte stämmer.

1 p

Svar: x=-\frac{1}{2}

1 p

c)

Kontroll på räknarskärmen:

Eftersom högra ledet är ett rationellt uttryck och division med noll inte är definierat, får vi definitionsmängden x olika 1. Observera hur domain-kommandot kan användas!

Stegvis lösning:

Möjlig bedömning:

1-x=\frac{1}{1-x}

Definitionsmängden bör nämnas: x\ne 1

\begin{array}{l}1-x=\frac{1}{1-x}\ \ \left| \cdot (1-x) \right.\\(1-x)(1-x)=1\\{{x}^{2}}-2x+1=1\\{{x}^{2}}-2x=0\end{array}

1 p

x(x-2)=0

Nollregeln för produkten:

x = 0 eller – 2 = 0:

Svar: x = 0 eller = 2

1 p