SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 15

15.

En rak cirkulär cylinder är placerad inuti en sfär så att basytornas kanter tangerar sfärens yta. Låt beteckna förhållandet mellan sfärens area och cylinderns totala area. Med cylinderns totala area avses summan av areorna av mantelytan och basytorna.
a)
Bestäm förhållandet mellan cylinderns höjd och radien av dess basyta som en funktion av parametern t. (2p) 
För vilka värden på parametern t
b) finns det ingen sådan cylinder?
c) finns det exakt en sådan cylinder?
d) finns det två sådana cylindrar?

Vi använder följande beteckningar:

U15L_1

Enligt Pythagoras sats: {{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}={{r}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}}{4}

Sfärens area: {{A}_{s}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi \left( {{r}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}}{4} \right)=4\pi {{r}^{2}}+\pi {{h}^{2}}

Cylinderns totala area: {{A}_{c}}=2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh

Förhållandet mellan dessa: t=\frac{{{A}_{s}}}{{{A}_{c}}}=\frac{4\pi {{r}^{2}}+\pi {{h}^{2}}}{2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh}=\frac{4{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}{2rh+2{{r}^{2}}}             1 p

a)

Vi söker nu förhållandet h/r som funktion av t:

t=\frac{4{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}{2rh+2{{r}^{2}}}

\begin{array}{l}t(2rh+2{{r}^{2}})=4{{r}^{2}}+{{h}^{2}}\\2rht+2{{r}^{2}}t=4{{r}^{2}}+{{h}^{2}}\quad \underset{{}}{\overset{{}}{\mathop{/:{{r}^{2}}}}}\,\\2\frac{h}{r}t+2t=4+\frac{{{h}^{2}}}{{{r}^{2}}}\end{array}

vilket vi kan skriva i formen:

{{\left( \frac{h}{r} \right)}^{2}}-2t\cdot \frac{h}{r}+4-2t=0

Vi kan alltså beräkna med rotformeln:

\frac{h}{r}=\frac{2t\pm \sqrt{{{(-2t)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (4-2t)}}{2}=t\pm \sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}   1 p

b)

Cylindern finns inte om h/r inte kan beräknas enligt resultatet ovan, dvs då diskriminanten

D(t)<0

Alltså:

{{t}^{2}}+2t-4<0

Vi söker nollställena:

t=\frac{-2\pm \sqrt{{{2}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}=-1\pm \sqrt{5}

Grafen av D(t) är en parabel som öppnas uppåt, vilket innebär att D(t) < 0 då

-1-\sqrt{5}<t<-1+\sqrt{5}                                  1 p

U14L_13

Dessutom måste förhållandet t rimligtvis vara positivt för att vi ska ha åtminstone en cylinder.

Vi kan dra slutsatsen att cylindern inte kan finnas om t<-1+\sqrt{5}        1 p

c)

Vi har en enda möjlig cylinder om förhållandet t är entydigt, dvs D(t)={{t}^{2}}+2t-4=0, vilket vi redan beräknat i b)-fallet. Rötterna var t=-1\pm \sqrt{5},varav bara roten t=-1+\sqrt{5} kan godkännas (enligt b)-fallet) eftersom förhållandet t då är positivt.       1 p

Nu kan vi dessutom utgå från att förhållandet h/r bör vara positivt, med följden att

\frac{h}{r}=t\pm \sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}>0

Vi delar upp detta i två delproblem:

I)

t+\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}>0 för alla reella värden på t.

II)

t-\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4} kan även anta negativa värden eller vara lika med 0.

Då t-\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}\le 0 kan \frac{h}{r}=t\pm \sqrt{{{t}^{2}}+2t-4} bara ha ett enda fungerande värde med en enda cylinder som följd. Vi undersöker alltså dubbelolikheten

t-\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}\le 0 och \begin{array}{l}t\ge -1+\sqrt{5}\\\frac{h}{r}=t\pm \sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}>0\end{array}

\begin{array}{l}t-\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}\le 0\\t\le \sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}\\{{t}^{2}}\le {{t}^{2}}+2t-4\\4\le 2t\\t\ge 2\end{array}

Sammanfattning: Vi har en enda cylinder då:

t=-1+\sqrt{5} eller t\ge 2                                 1 p

d)

Vi har två möjliga cylindrar då

D(t)={{t}^{2}}+2t-4>0 och t-\sqrt{{{t}^{2}}+2t-4}>0

vilket på basis av de redan lösta fallen gäller då: -1+\sqrt{5}<t<2    2 p

KONTROLL

Här finns många möjligheter!

U15L_1

Sedan kan man kontrollera de olika räknestegen i samma anda.

 

Annonser

SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 14

14.

En placerare uppskattar kursutvecklingen för en aktie med hjälp av en sannolikhetsfördelning, vars frekvensfunktion antar sitt maximum vid marknadsvärdet 20,50 euro och har värdet noll vid avvikelser från detta värde som är större än 5 euro. Frekvensfunktionen är kontinuerlig, och dess graf består av två linjära delar i intervallet 15,50 – 25,50 euro.
a)
Bestäm ett uttryck för frekvensfunktionen. (3 p)
b)
Hur stor är sannolikheten för att aktiens marknadsvärde är under 19 euro. (2 p)
c)
På grund av att de övriga kurserna har stigit ändrar placeraren fördelningen så att den blir osymmetrisk. Den antar fortfarande sitt maximum vid värdet 20,50 euro, men han flyttar nollstället 25,50 euro till 30,50 euro. Annars förblir fördelningen av samma typ som tidigare. Bestäm väntevärdet för den nya fördelningen. (4 p)
______________________________________________________________________________

OBS!

I uppgiften har SE-nämnden åstadkommit ett översättningsfel. Det här är inte en frekvensfunktion. I den finskspråkiga versionen av texten används termen ”tiheysfunktio” vilket betyder täthetsfunktion.

a)

U14_1

Täthetsfunktionen som beskrivs, är här avbildad. Triangelns ”höjd” får vi ur villkoret att arean triangelns begränsar med x-axeln är 1 areaenhet stor. då får vi:

\begin{array}{l}\frac{1}{2}\cdot \left( 25,5-15,5 \right)h=1\\5h=1\\h=\frac{1}{5}=0,2\end{array}                                                  1 p

Grafen består av två linjesegment. Vi bestämmer riktningskoefficienten för linjerna segemten ligger på:

\begin{array}{l}{{k}_{1}}=\frac{0,2-0}{20,5-15,5}=0,04\\{{k}_{2}}=\frac{0-0,2}{25,5-20,5}=-0,04\\\end{array}

Linjernas ekvationer är då:

\begin{array}{l}y-{{y}_{0}}=k\cdot (x-{{x}_{0}})\\y-0=0,04\cdot (x-15,5)\\y=0,04x-0,62\end{array}

och

\begin{array}{l}y-0=-0,04\cdot (x-25,5)\\y=-0,04x-1,02\end{array}          1 p

Fördelningsfunktionen är då:

f(x)=\left\{ \begin{array}{l}0,04x-0,62\quad ;15,5\le x\le 20,5\\-0,04x-1,02\ \,\,;20,5<x\le 25,5\\quad \quad \quad \quad \quad \ ;x<15,5\vee x>25,5\end{array} \right.     1 p

b)

Den sökta sannolikheten är:

\begin{array}{l}P(x<19)=\int\limits_{-\infty }^{19}{f(x)dx=}\int\limits_{-\infty }^{19}{(0,04x-0,62)dx=}\\=\underset{15,5}{\overset{19}{\mathop{/}}}\,(0,02{{x}^{2}}-0,62x)=(0,02\cdot {{19}^{2}}-0,62\cdot 19)-(0,02\cdot {{15,5}^{2}}-0,62\cdot 15,5)\\=0,245\end{array}     1 p

Svar: Sannolikhgeten är ca 0,25                                                                                          1 p

KONTROLL a) och b):

ex1

Vi börjar med att placera ut de punkter i koordinatsystemet vi utgick ifrån. Sedan drar vi linjer genom punkterna som definierar triangelns sidor. Vi låter räknaren bestämma dessa linjer ekvationer:

U14L_2

Sedan definerar styckvis vi en funktion här visat på datorskärm – räknarskärmen vill bli för liten:

U14L_3

Ser bra ut. Nu återstår integrationen:

U14L_4

Ser bra ut alltså!

Också andra detaljer kan kontrolleras om man vill.

c)

Vi planerar om fördelningsfunktionen.

\begin{array}{l}\frac{1}{2}\cdot \left( 30,5-15,5 \right)h=1\\\frac{15}{2}h=1\\h=\frac{2}{15}(\approx 0,133..)\end{array}                                        1 p

U14L_10

Sidosegmenten har riktningskoefficienterna:

\begin{array}{l}{{k}_{1}}=\frac{\frac{2}{15}-0}{20,5-15,5}=\frac{2}{75}\\{{k}_{2}}=\frac{0-\frac{2}{15}}{30,5-20,5}=-\frac{1}{75}\end{array}

Linjerna som segmenten följer:

\begin{array}{l}y-0=\frac{2}{75}\cdot (x-15,5)\\y=\frac{2}{75}x-\frac{31}{75}\end{array}

och

\begin{array}{l}y-0=-\frac{1}{75}\cdot (x-30,5)\\y=-\frac{1}{75}x+\frac{61}{150}\end{array}

Den nya täthetsfunktionen är:

f(x)=\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{75}x-\frac{31}{75};\quad \quad 15,5\le x\le 20,5\\-\frac{1}{75}x+\frac{61}{150};\quad 20,5<x\le 30,5\;\quad \quad \quad \quad \quad \quad x<15,5\vee x>30,5\end{array} \right.                                         1 p

Väntevärdet:

E(x)=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{xf(x)dx=\int\limits_{15,5}^{20,5}{x\left( \frac{2}{75}x-\frac{31}{75} \right)dx+}\int\limits_{20,5}^{30,5}{x\left( \frac{-1}{75}x+\frac{61}{150} \right)dx=}}      1 p

\begin{array}{l}=\underset{15,5}{\overset{20,5}{\mathop{/}}}\,\left( \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{75}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{31}{75}{{x}^{2}} \right)+\underset{20,5}{\overset{30,5}{\mathop{/}}}\,\left( -\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{75}{{x}^{3}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{61}{150}x{}^{2} \right)=\\=\underset{15,5}{\overset{20,5}{\mathop{/}}}\,\left( \frac{2}{225}{{x}^{3}}-\frac{31}{150}{{x}^{2}} \right)+\underset{20,5}{\overset{30,5}{\mathop{/}}}\,\left( -\frac{1}{225}{{x}^{3}}+\frac{61}{300}x{}^{2} \right)=\\=\frac{2}{225}\cdot {{20,5}^{3}}-\frac{31}{150}\cdot {{20,5}^{2}}-\left( \frac{2}{225}\cdot {{15,5}^{3}}-\frac{31}{150}\cdot {{15,5}^{2}} \right)\\-\frac{1}{225}\cdot {{30,5}^{3}}+\frac{61}{300}\cdot {{30,5}^{2}}-\left( \frac{1}{225}\cdot {{20,5}^{3}}+\frac{61}{300}\cdot {{20,5}^{2}} \right)=\\=\frac{133}{6}\approx 22,17\end{array}

Svar: Väntevärdet är 22,17 euro                                       1 p

KONTROLL:

Täthetsfunktionen kan kontrolleras som tidigare. Ingenting nytt där. Vi koncentrerar oss på integralen:

U14L_11

Ser bra ut så här långt! Sedan den bestämda integralen.

U14L_12

 

Jo jo!

SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 12

12.

U12TL

____________________________________________________________________________

I tabellen visar raden t att tiderna genomgående har intervallet 3 h. Vi hat då parametrarna a = 0, b = 24 och h = 3.                                                          1 p

Trapetsregel ger:

\frac{1}{24}\int\limits_{0}^{24}{f(t)dt\approx \frac{1}{24}\cdot 3}\cdot \left( \frac{1}{2}\cdot 10,2+10,7+12,3+13,8+15,8+17,9+17,0+15,5+\frac{1}{2}\cdot 14,2 \right)\approx 14,4     4 p

Svar: Dygnets medeltemperatur är 14,4 grader C              1 p

Det här kan beräknas på flera olika sätt, men här väljs em listmetod. Då kan data matas i in listform och korrekturläsas:

U12L_1

(Skärmkapning från datorprogrammet)

SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 10

10.

U10L

___________________________________________________________________________

Vi skriver om ekvationen {{e}^{x+a}}=x i formen {{e}^{x+a}}-x=0 och definierar funktionen f(x)={{e}^{x+a}}-x, vars nollställen vi undersöker. Dessa nollställen motsvarar den ursprungliga ekvationens lösningar.

Derivering:

{f}'(x)={{e}^{x+a}}-1

Derivatans nollställen:

\begin{array}{l}{f}'(x)={{e}^{x+a}}-1=0\\{{e}^{x+a}}=1\quad \left| \ln () \right.\\\ln \,{{e}^{x+a}}=\ln \,1\\x+a=0\\x=-a\end{array}            1 p

Andra derivatan beräknas och: {{f}'}'(x)={{e}^{x+a}}>0 för \forall x\in \mathbb{R}

Detta betyder att {f}'(x) är strängt växande, vilket vidare innebär att {f}'(x)<0x < –a och {f}'(x)>0x > –a. Funktionen  f(x) har alltså exakt ett minimum, vid x = –a.      1 p

Vi beräknar nu: f(-a)={{e}^{-a+a}}-(-a)={{e}^{0}}+a=1+a

Nu har vi tre alternativ:

a > -1, har f(x) ett positivt minimum och nollställen saknas.                 1 p

a = -1 har f(x) ett mimimum med värdet 0 och alltså ett nollställe.       1 p

Då återstår fallet a < -1. Då gäller också +1 < 0, alltså minimumvärdet är nu negativt.

Vi undersöker vilket tecken funktionen f(x) har på vardera sidan om det negativa minimumvärdet. Vi x = 0 och x = -2a.

f(0)={{e}^{0+a}}-0={{e}^{a}}>0

f(-2a)={{e}^{-2a+a}}-(-2a)={{e}^{-a}}+2a

Vi definierar nu funktionen g(a)=f(-2a)={{e}^{-a}}+2a, vilken vi undersöker närmare.

Derivering: {g}'(a)=-{{e}^{-a}}+2. Vi undersöker när denna derivata är negativ.

\begin{array}{l}-{{e}^{-a}}+2<0\\-{{e}^{-a}}<-2\ \quad \left| \cdot (-1) \right.\\{{e}^{-a}}>2\quad \left| \ln () \right.\\-a>\ln 2\quad \left| \cdot (-1) \right.\\a<-\ln 2\simeq -0,693\end{array}

Detta betyder att {g}'(a)<0 för alla värden på a < -1

————————————————    -1   ——————————

g´(x)                            –

g(x)                              \nearrow

Det minsta värdet g(-1)={{e}^{-1(-1)}}+2\cdot (-1)\approx 0,718>0         1 p

Eftersom minsta värdet för g(x) är positivt är g(a) och därför även f(-2a) positiva för alla a < -1.

Funktionen f(x) är monoton på vardera sidan om x = –och kan därför ha högst ett nollställe på vardera sidan om detta värde. Eftersom f(x) ändrar tecken inom intervallen \left[ 0,-a \right] och \left[ -a,-2a \right] finns det exakt ett nollställe i vardera intervallet, alltså sammanlagt två nollställen.

Svar: Lösningar saknas då a > -1, det finns en lösning då a = -1 och det finns exakt två lösningar då a < -1.

1 p

Sedan till diverse kontrollmöjligheter:

U10L_1

U10L_2

Grafiska alternativ:

U10L_3

SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 7

7.

Enligt en modell (R. MacArthur & E. O. Wilson, 1967) beror antalet fågelarter n som häckar på en ö av öns area A ungefär enligt formeln n = kAb, där k och b är positiva konstanter som är beroende av ön.

a) Utgående från observationer har man kunnat fastställa följande värden för två kanariska öar:

n1 = 20,     A1 = 10,2 km2      (Alegranza)

n2 = 6,       A2  = 0,0158 km2 (Roque del Oeste)  

Använd dessa data för att bestämma konstanterna k och b med tre gällande siffror.
Gör en uppskattning av antalet fågelarter som häckar på ön La Palma (A = 708 km2) med hjälp av modellen.

Vi tar teorin först och kontrollen sedan:

a)

Utgående från texten vet vi:

20=k\cdot {{10,2}^{b}} och 6=k\cdot {{0,0158}^{b}}       1 p

Vi kan t.ex. fortsätta med att lösa k ur den första ekvationen:

20=k\cdot {{10,2}^{b}}    division med {{10,2}^{b}}

k=\frac{20}{{{10,2}^{b}}} vilket insätts i en andra ekvationen:

6=\frac{20}{{{10,2}^{b}}}\cdot {{0,0158}^{b}}=20\cdot {{\left( \frac{0,0158}{10,2} \right)}^{b}}  vilket dividerat med 20 ger

\begin{array}{l}6=\frac{20}{{{10,2}^{b}}}\cdot {{0,0158}^{b}}=20\cdot {{\left( \frac{0,0158}{10,2} \right)}^{b}}\\{{\left( \frac{0,0158}{10,2} \right)}^{b}}=\frac{6}{20}\end{array}

Vi beräknar naturliga logaritmen för ovanstående:

\begin{array}{l}b\ln \left( \frac{0,0158}{10,2} \right)=\ln \frac{3}{10}\\b=\frac{\ln \frac{3}{10}}{\ln \left( \frac{0,0158}{10,2} \right)}\approx 0,18608\end{array}         1 p

Insättning i den första ekvationen ger nu vidare:

\begin{array}{l}20=k\cdot {{10,2}^{0,18608}}\\k=\frac{20}{{{10,2}^{0,18608}}}\approx 12,98\end{array}

Svar: k = 13,0 och b = 0,186                                                                      1 p

b)

Nu har vi

\begin{array}{l}A=708\ \text{k}{{\text{m}}^{2}}\\n\approx 12,982\cdot {{708}^{0,18608}}\approx 44,024\\\end{array}                                         1 p

Svar: La Palma kan antas ha 44 häckande fågelarter                              2 p

Sedan till kontroll med räknaren!

Vi börjar med en grovkontroll:

U7L1

U7L2

U7L3

Man kan försöka sig på att kontrollera räknestegen här, men räknaren har en tendens att förenkla logaritm- och potensuttryck, vilket gör att ”stegen” kan se en aning oväntade ut!

SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 6

6.

Beräkna arean av det begränsade området mellan parabeln {{y}^{2}}=4x och linjen 4x-3y=4. Ange det exakta värdet och ett närmevärde med två decimaler.

Vi börjar med att bestämma skärningspunkterna mellan linjen och parabeln. Vi har

\left\{ \begin{array}{l}{{y}^{2}}=4x\\4x-3y=4\end{array} \right.

Vi substituerar den första ekvationen i den andra:

\begin{array}{l}{{y}^{2}}-3y=4\\{{y}^{2}}-3y-4=0\\y=\frac{3\pm \sqrt{{{(-3)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 5}{2}\end{array}

Vi får rötterna y = -1 och y = 4

Motsvarande x-koordinater: (Vi väljer linjens ekvation i formen x=\frac{3}{4}y+1)

y = -1:      x=\frac{3}{4}\cdot (-1)+1=\frac{1}{4}  ; Skärningspunkten: (1/4,-1)

y = 4:       x=\frac{3}{4}\cdot 4+1=4                     ; Skärningspunkten: (4,4)

                                                                                                                       1 p

Avbildning:

Linjens ekvation: y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}

Parabeln ekvation kan skrivas som x=\frac{1}{4}{{y}^{2}}

Värdetabeller kan ställas upp via dessa uttryck.                                    1 p

                                                                                             1 p

(Vi återkommer till hur bilden konstruerats)

Arean kan beräknas med hjälp av en bestämd integral. En enkel metod är då att skriva både linjens och parabelns ekvationer i formerna:

\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}y+1\\x=\frac{1}{4}{{y}^{2}}\end{array}

alltså:

\begin{array}{l}f(y)=\frac{3}{4}y+1\\g(y)=\frac{1}{4}{{y}^{2}}\end{array}

I intervallet -1 ≤ y ≤ 4 är f(y) ≥ g(y):                                                    1 p

Vi integrerar:

\begin{array}{l}A=\int\limits_{-1}^{4}{\left( f(y)-g(y) \right)dy}\\=\int\limits_{-1}^{4}{\left( \frac{3}{4}y+1-\frac{1}{4}{{y}^{2}} \right)dy}\end{array}

1 p

\begin{array}{l}=\underset{-1}{\overset{4}{\mathop{/}}}\,\left( \frac{3}{8}{{y}^{2}}+y-\frac{1}{12}{{y}^{3}} \right)\\=\left( \frac{3}{3}\cdot {{4}^{2}}+4-\frac{1}{12}\cdot {{4}^{3}} \right)-\left( \frac{3}{3}\cdot {{(-1)}^{2}}-1-\frac{1}{12}\cdot {{(-1)}^{3}} \right)\\=\frac{125}{4}\approx 5,21\end{array}

Svar: Arean är 125/4 eller ca 5,21 areaenheter stor.                              1 p

Kontrollmöjligheter:

Vi börjar med bilden. Operativsystemet bör vara uppdaterat till version 3.2 för att detta ska lyckas! Vi börjar med att undersöka en ny avbildningsmöjlighet på grafskärmen. Ett tryck på Menu, ger följande möjligheter:

När graferna är ritade, kan vi ta reda på skärningspunkterna (menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 3-Skärningspunkter):

Integrationsdelen av uppgiften måste vi gör ”icke-grafiskt”, t.ex. direkt på räknarskärmen:

 

 

Våra tidigare resultat stämmer alltså.

 

 

SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 5

5.

Bestäm det största och det minsta värdet av polynomet f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-15x+2 i intervallet \left[ 2,6 \right]

f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-15x+2

Derivering ger:

{f}'(x)=3{{x}^{2}}-12x-15                                                                 1 p

Derivatans nollställen:

\begin{array}{l}3{{x}^{2}}-12x-15=0\\\end{array}   vilket kan divideras med 3:

{{x}^{2}}-4x-5=0

x=\frac{4\pm \sqrt{{{(-4)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{16+20}}{2}=\frac{4\pm 6}{2}                                    1 p

Rötterna är: x = 5 och x = -1, men den senare ligger utanför intervallet \left[ 2,6 \right]   1 p

Polynomet f(x) är kontinuerligt i det undersökta intervallet och deriverbart i intervallet \left] 2,6 \right[, vilket innebär att polynomet i det slutna intervallet antar ett största och ett minsta värde i derivatans nollställen eller i intervallets ändpunkter.            1p

Kontroll:

\begin{array}{l}f(2)={{2}^{3}}-6\cdot {{2}^{2}}-15\cdot 2+2=-44\\f(5)={{5}^{3}}-6\cdot {{5}^{2}}-15\cdot 5+2=-98\\f(6)={{6}^{3}}-6\cdot {{6}^{2}}-15\cdot 6+2=-88\end{array}

Vi ser att -44 är det största och -98 det minsta värdet.

Svar: f(x) antar i intervallet  \left[ 2,6 \right]   största värdet -44 och minsta värdet -98              2 p

Kontroll med räknaren:

Också en grafisk kontroll kan vara bra:

Här har vi valt ”Fönsterinställningarna” så, att x-minimum = 2 och x-maximum = 6. Sedan kan man välja Anpassning under menyn för ”Fönsterinställningar” (smått fjantig term, men vad sjutton).