Hur många kast kan jag förväntas kasta med en tärning innan jag får en sexa?

Källa:

”Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions” av Frederick Mosteller.

Här återges i tämligen fri form och med hjälp av CAS (Anteckningar-skärmen används), författarens analys:

sexa1Sexan2

sexan3

Det förväntade antalet kast är alltså 6 stycken, vilket kanske inte förvånar.

Kan vi hitta en lösning där vi utnyttjar geometriska talföljders egenskaper? Vi provar:

sexan6Sexan7

sexan8sexan9

Själva formeln för summan av en geometrisk talföljd kan härledas på ett liknande sätt. Prova!

En liten sannolikhetsparadox

Anta att en liksidig triangel är inskriven i en cirkel. Dra en godtycklig linje så att den skär cirkeln. Vilken är sannolikheten för att den sektor av linjen som ligger inom cirkeln är längre än den inskrivna triangelns sidlängd?

_________________________________________________________________________

Bloggaren har inte hittat på detta problem. Läste det i en bok skriven av Martin Gardner för länge sedan. Det roliga var att han presenterade två lösningar som ger olika svar. Vi ska se på resonemangen här. Kanske kan läsaren avgöra vilken lösning som är den rätta och i så fall varför.

 

Det kan påpekas att jag har diskuterat problemet med matematiker till och från genom åren. Båda lösningarna har visat sig ha anhängare!

Lösning 1

Vi konstruerar cirkeln med sin inskrivna cirkel (Det lönar sig att först konstruera en reguljär polygon och sedan forma den till en triangel. Cirkeln omskrivs sedan.):

Gardner1

Sedan beräknar vi avståndet från medelpunkten till en av triangens sidor:

Gardner2Gardner3

Den lilla triangeln är en typtriangel, 30, 60, 90-grader. Avståndet från cirkeln medelpunkt till triangelns sidor är alltså r/2 om r är cirkelns radie.

Nu ritar vi en godtycklig linje över vår cirkel och vrider den inskrivna triangeln så att en av sidorna är parallell med linjen:

Gardner4

Den korda på linjen som hamnar innanför cirkeln är på bilden längre än triangelsidan. Villkoret för att så är fallet, är uppenbarligen att kordans medelpunkt hamnar innanför den i triangeln inskrivna cirkeln.

Med vilken sannolikhet hamnar kordans medelpunkt innanför den inre cirkeln? Om vi resonerar med geometrisk sannolikhet, är svaret förhållandet mellan cirklarnas areor

gardner5

Detta skulle ge sannolikheten 1/4

Lösning 2

Nu drar vi vår linje över cirkeln. Sedan vrider vi den inskrivna triangeln till ett av hören sammanfaller med en av skärningspunkterna mellan cirkeln och linjen. Vi ritar tangenten till cirkeln i skärningspunkten.

gardner6

Om linjen ska vara godtycklig, kan den bilda vilken vinkel som helst mot tangenten i tangeringspunkten. Kordan inom cirkeln är längre än tangenten om vinkeln ligger inom den mittersta delen på 60 grader av totalt 180 grader. Sannolikheten blir då:

60/180 = 1/3

Vilket av svaren är det rätta? Var ligger felet i resonemangen?

Bloggaren ska fundera på en simulationsprogramsnutt. Återkommer kanske!

SE Kort matematik våren 2013 – uppgift 12

När en tillverkare gjorde kontrollmätningar konstaterades att mängden parfym i en parfymflaska är normalfördelad med medelvärdet 52 milliliter och standardavvikelsen 1,25 milliliter. Med vilken sannolikhet är mängden parfym i en flaska mindre än 50 milliliter?

____________________________________________________________________________

V13kmU12_1 V13kmU12_3

V13kmU12_4

 

UI den här lösningen har vi använt den klassiska tabellavläsningsmetoden, vilket inte framgår ur lösningen (en MAOL-tabell behövs). Observera att vi kan kontrollera svaret direkt utan tabeller!

V13kmU12_6V13kmU12_7

V13kmU12_8

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 6

Sannolikheten för att blodgrupperna B och O förekommer är P(B) = 0,147 och P(O) = 0,33. En vampyr biter 12 människor. Beräkna sannolikheten för att det

a) i gruppen finns högst 9 människor som har blodgruppen O

b) i gruppen finns tre eller fyra människor som har blodgruppen B

_____________________________________________________________________________

a)

Vi inför lämpliga beteckningar:

\begin{array}{l}A:''\text{Av 12 m }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nniskor har h }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ gst 9 blodgruppen O''}\\\bar{A}:''\text{Av 12 m }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nniskor har minst 10 blodgruppen O''}\end{array}

Vi har att göra med ett slumpförsök, där den stpkastiska variabeln X är antalet personer med blodgruppen O. Vidare:

P(A)=1-P(\bar{A})

Sedan kör vi:

U5_V13_1

 

Sannolikheten är alltså ca 99,95 %

b)

U5_V13_2

 

Sannolikheten är ca 29,5 %

 

Kan man simulera tärningskast med TInspire?

Det kan man! Bra att veta om sällskapsspelets tärningar slarvats bort! Kommandot på bilden behöver man bara knäppa in en gång. Sedan kan man trycka på Enter så mycket man vill!

Tarn1

Kommandot på bilden visar hur man kan göra. Förklaring: Kommandot rand() ger ett slumptal med flera decimaler mellan 0 och 1. Prova! Decimaltalen är enskilda slumptal. Om vi räknar rand()*6, får vi ett tal någonstans mellan 0 och 5,9999….. . Resultatet 6,0000….. är i princip möjligt men ytterst osannolikt. Kommandot int tar ut heltalsdelen av detta tal. T.ex int(4,23246716253098) är 4. Kommandot rand()+1 gör att hela operationen ger slumptal mellan 1 och 6 i stället för 0 och 5.

Hur är det med ett par tärningar? Ett förslag:

Tarn2

SE Kort matematik matematik hösten 2012 – uppgift 8

8.

Fred brukar besöka en lunchrestaurang som serverar tre olika slags pizzor: standardpizzor som kostar 7,50 euro, rågpizzor som kostar 8,50 euro och pannpizzor som kostar 10,50 euro. Kunden ska välja två fyllningar bland 15 alternativ. För tilläggspriset en euro kan kunden välja en tredje fyllning. Fred försöker alltid äta en pizza som avviker från alla tididgare i fråga om antingen botten eller fyllningar. 
a)
Hur många veckor kan han göra det om han äter på restaurangen fem gånger i veckan?
b)
Vilket är medelpriset för de olika pizzorna?

a)

Vi beräknar hur många olika pizza-alternativen är.  Vi kan välja 2 fyllningar av 15 på

\left( \begin{array}{l}15\\2\end{array} \right)=\frac{15!}{2!(15-2)!}=105 olika sätt

och 3 fyllningar av 15 på

\left( \begin{array}{l}15\\3\end{array} \right)=\frac{15!}{3!(15-3)!}=455 olika sätt.

Sammanlagt blir det 560 olika fyllningsmöjligheter.                1 p

Dessutom har vi tre olika pizzabotten. Sammanlagda antalet olika pizzor är då 3\cdot 560=1680.                                                                                    1 p

Om Fred äter 5 pizzor i veckan, räcker det \frac{1680}{5}=336 veckor att pröva sig igenom menyn.

Svar: 336 veckor                                                                            1 p

b)

Vi kartlägger alternativen: Det finns 105 alternativ med priset 7,50 € (standardpizza + 2 fyllningar), 455 + 105 = 560 alternativ med priset 8,5+ € (standardpizza + 3 fyllningar eller rågpizza + 2 fyllningar), 455 alternativ med priset 9,50 € (rågpizza + 3 fyllningar), 105 alternativ med priset 10,5+ € (pannpizza + 2 fyllningar och slutligen 105 alternativ med priset 11,50 € (pannpizza + 3 fyllningar).                                                           1 p

Medelpriset blir då: \frac{7,50\cdot 105+8,50\cdot 560+9,50\cdot 455+10,50\cdot 105+11,50\cdot 455}{1680}\approx 9,6458

Svar: Medelpriset är 9,65 €                                                           2 p

Kontroll:

Ingenting överväldigande här!

U8K_1

SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 8

8.

En professor ska enligt arbetsschemat hålla en föreläsning om dagen under veckans fem arbetsdagar. Men professorn är mycket upptagen och hinner inte hålla alla föreläsningar. Varje dag är sannolikheten för att han ska hålla sin föreläsning 80 %.
a) Hur stor är sannolikheten för att professorn ska hinna hålla alla sina föreläsningar under en vecka?
b) Hur stor är sannolikheten för att han ska missa bara en av de fem föreläsningarna?
c) Bestäm väntevärdet av antalet föreläsningar som professorn håller under en vecka.

Vi använder följande beteckningar:

P(”professorn hinner hålla sin dagliga föreläsning”) = p

P(”professorn hinner inte hålla sin dagliga föreläsning”) = q

Då gäller: p = 0,8 och q = 1-p = 0,2

a)

A = ”Professorn hinner hålla samtliga 5 föreläsningar”

P(A)={{p}^{5}}={{0,8}^{5}}\approx 0,3277

Svar: 32,8 %                                                                                             2 p

Kontroll tar vi på Anteckningar-skärmen:

U8L_1

b)

B = ”professorn missar (exakt) en föreläsning av 5”

Nu är det fråga om en binomialsannolikhet med n = 5 och k = 4:

P(B)=\left( \begin{array}{l}n\\k\end{array} \right){{p}^{6}}{{q}^{n-k}}=\left( \begin{array}{l}5\\4\end{array} \right)\cdot {{0,8}^{4}}\cdot {{0,2}^{5-4}}\approx 0,4096        1 p

Svar: 41,0 %                                                                                                                   1 p

Nu finns det olika kontrollmöjligheter. Vi undersöker några:

U8L_2

Sedan undersöker vi vad menu-tangenten har att erbjuda. Genom att navigera via statistikberäkningar och välja binomialfördelningen, kan vi beräkna:

U8L_4

Kommandot ger sannolikheterna för 0, 1, 2 osv missade föreläsningar av 5.

c)

För att beräkna vätevärdet, måste vi känna till sannolikheterna för de enskilda antalet missade timmar: (Observera att dessa sannolikheter redan är beräknade ovan)

2012-12-11 06-34-59 +00001

Väntevärdet för antalet hållna föreläsningar under veckans fem dagar blir då:

E(X)=\sum\limits_{i}{{{p}_{i}}{{X}_{i}}=0,00032\cdot 0+0,0064\cdot 1+...+0,32768\cdot 5=4}

Svar: Väntevärdet är 4                                                             1 p

Kontroll! Man kan räkna ”lång vägen”, men det finns andra kontrollmöjligheter, t.ex:

U8L_5

 

 

Trekronor

Tidningen Hufvudstadsbladet här i Helsingfors har en liten problemhörna med namnet Tankenöten. Bloggaren brukar besvara nötterna nu och då. Den senaste nöten var relativt enkel att besvara, men den gav en liten möjlighet att skriva en programsnutt. Frågan var kort och gott:

Anta att du singlar tre slantar på en gång. Hur många av de möjliga utfallen är sådana att man får (exakt) två klave.

Eftersom bloggaren noterat att läsare i Sverige ibland figurerar i bloggen, döptes problemet till ”Tre kronor” (jag vet, fysikerhumor!).

Vi beräknar alltså sannolikheten för exakt två kronor i en slantsingling med tre slantar. Problemet i sig är inte svårt. Utfallsrummet (R – krona och L – klave) är:

RRR, RLR, RRL, RLL

LLL, LRL, LLR, LRR

Vi har alltså 8 möjliga utfall och exakt två kronor i tre av dem (kunde förklara namnet på inlägget??)

Sannolikheten för exakt 2 kronor bland de tre slantarna borde alltså vara 3/8 eller ca 0,375.

Passade på at simulera detta med ett litet program. Måste också skryta en aning. För första gången under min över 30-åriga lärarkarriär, lyckades programmeringen utan ett enda felmeddelande på vägen. Rent otroligt!

Programmet hittas i Box-verktyget. Får fritt laddas ner och modifieras av den som vill!

Här är en programlistning med enkla förklaringar:

Define trekronor()=                                          Programmet namnges
Prgm

{0,0,0,0}→kronor                                              En räknelista skapas för utfallen 0, 1, 2 eller 3 kr

Request ”Antal kast”,n                                     Antalet singlingar definieras

For i,1,n :{0,0,0}→kast                                  Loop för kasten

For j,1,3                                                       De tre slantarna singlas i en loop

If rand()>0.5 Then :                                 Ett slumptal i int. 0-1 ges. Större än 0,5: Kr

kast[j]:=1                                                Eventuell krona noteras

EndIf                                                          Slut på kontrollen

sum(kast)→s                                              Antalet kronor noteras

EndFor                                                           Slut på slantsinglingsloopen

kronor[s+1]+1→kronor[s+1]                   Räknelistan uppdateras

EndFor                                                             Slut på simuleringen

EndPrgm

 

När programmet körts, visas resultatet genom kommandot kronor.  Kommandot kan givetvis skrivas in i programmet. Också de relativa antalet ”exakt 2 kronor” kan skrivas in! Prova!

 

Några experiment med normalfördelningen

I det här inslaget ska vi se på ett exempel på hur en normalfördelning kan behandlas. Traditionellt har vi i finländska studentexamina varit tvungna att använda numeriska tabeller i dessa exempel. Här är ett alternativ, om inte annat så för kontrollens skull.

Vi gör detta som ett exempel:

Anta att kaffe i ett rosteri förpackas i påsar med massan 1 kg. Ett stickprov visar att påsarnas innehål är normalfördelat med massan 1002 g och normalfördelningen 9 g. Hur många påsar i en sats på 5000 stycken, kan vi anta vara ”för lätta”, dvs ha en massa på mindre än 1 kg?

Sarta en räknarskärm och tryck på menu-tangenten. Följ sedan bilderna:

Ca 41 % av påsarna ser ut att vara för lätta. Antalet säckar:

Ca 2100 påsar kan förväntas vara för lätta.

Kan man förklara det här på ett mera visuellt sätt!

Vi experimenterar vidare: (med en ny fil med namnet NF.tns som lagras i boxen till vänster).

Vi inleder med att starta en Anteckningar-skärm:

Resultatet är numeriskt och en aning inexakt, men idén torde vara klar. Det går bra att mata in andra värden för medeltal och standardavvikelser på Anteckningar-skärmen och sedan anpassa Graf-skärmen på nytt.