Modellprovet i matematik 2015 – B-delen – Uppgift 9

Skärmavbild 2015-03-05 kl. 08.00.08

Uppgiften i är smått besvärlig att hantera med CAS. Återkommer kanske. Läsaren kan också mata in sökordet Boolesk algebra i bloggens sökruta för att se vad som tidigare behandlats.GODA FÖRSLAG TAR BLOGGAREN GÄRNA EMOT!

Uppgiften ii är däremot intressant. Också Newtons metod är tidigare behandlad, men vi kör lösningen på nytt.

Uppgiften kan lösas på flera sätt, men bloggaren är av åsikten att ett enkelt program kan vara på sin plats:

05-03-2015 Skärmbild007

Några kommentarer: Skärmen på datorn är indelad i tre fält. På en räknare kan det vara enklare att använda ett par flikar? Programmet ses upp till vänster i ett programfält (som automatiskt delar skärmen ibland). Till höger ses ett grafiskt kontrollfält, som inte är direkt nödvändigt, men kan vara bra att ha, speciellt om man skulle göra ett misslyckat gissningsförsök.

I programmet är Newtons iterationsformel inmatad, så att den resulterar i närmevärden (faktorn 1. åstadkommer det). På grafskärmen har punkten på vår graf kopplats till variabeln a. Tangenten till grafen är också markerad. Tangentens nollställe är en ny gissning.

På räknarskärmen nere till vänster kör man programmet. Funktionen kan antingen matas in här eller på grafskärmen. Sedan gör vi en gissning. I detta fall x = 0.Slutligen kör vi programmet. Varje tryck på enter gör en ny iteration. Om stegen ska nedtecknas, går det bra här.

Skärmavbild 2015-03-05 kl. 08.45.05

Här visas första körningen. Bara att knäppa på:

05-03-2015 Skärmbild008

Det går bra att lösa uppgiften direkt på t.ex. en Anteckningar-skärm, men problemet är att lagra lösningarna för anteckningarnas skull. Prova gärna!

Annonser

Grafisk integration av mätdata

En fråga har kommit in till bloggen. Jag blev ombedd att skriva ett program som integrerar ”mätpunkter”. Som ett exempel nämndes uppgift 11 i höstens (2013) studentskrivningar i fysik. Ska ta mig an utmaningen att se på uppgiften, men ett enda kort svar täcker knappast alla möjligheter här.

Problemet är att diskreta punkter inte är ett matematiskt funktionsuttryck. Därför kan de inte ”integreras” direkt. Vi måste göra en del förberedelser som dessutom kan variera från fall till fall. Ska därför inte skriva ett program, men nog komma med några tips.

Vi kan börja med ett exempel:

Anta att att en kondensator urladdas. Strömmen so funktion av tiden är:

I  (A):     1,96   1,58   1,29   1,03   0,83   0,67   0,54   0,43   0,36    0,28

t (s):       0,00   0,20   0,40   0,60   0,80   1,00   1,20   1,40  1,60    1,80

Vi matar in dessa på kalkyskärmen, undersöker dem på statistikskärmen och kollar om det finns en vettig matematiskt modell, som kan skrivas i funktionsform:

punktin1punktint2

punktint3

Nu råkade det vara så, att en matematisk modell som räknaren står till tjänst med, expontentiellt avtagande, passar synnerligen bra in på mätdata.

Ett litet tips: Ibland krånglar räknaren om nollor ingår i mätdata. Om man anger små mätvärden, mycket när noll,kan man få räknaren att fungera.

Laddningen Q = I * t  i kondensatorn kan nu beräknas genom att integrera:

punktint4

Det är inte sagt att det går att hitta en lämplig matematisk modell! Vad gör man då?

Man blir tvungen att förlita sig på numerisk matematik. Där hittar man ett antal metoder. Om vi på x-axeln har jämnt födelade data (samma intervall överallt) och gärna rätt så många mätpunkter, kan vi t.om. utveckla en egen, ganska grov version av ”rektangelmetoden”. Duger för hushållsbruk, när man vill ha en snabbkoll på ”arean under en tänkt kurva”. Sedan kan man förstås övergå i mera sofistikerade metoder, trapetsmetoden, Simpsons regel eller så.

Vi tar ett exempel till. Anta att vi mäter kraften som påverkar en liten boll då vi slår till den med en klubba.

F (N)   0,00   2.32   4.92   9.34   5.67   3,96    2.66   1,51   0.46    0,00

t (s)     0,00   0,01   0,02   0,03   0,04   0,05    0,06   0,07   0,08    0,09

Vi ser på data:

punktint5punktint6

Det kan gå att anpassa ett polynom till dessa data, men vi väljer en annan metod. Vi antar att varje kraftvärde definierar en rektangel med bredden lika med intervallen på tidsaxeln. Då är den grafiska integralen ca:

punktint7

Metoden fungerar sämre ju färre mätpunkter vi har. Man kunde försöka rita ut en mjuk profil genom punkterna och mata in flera punkter i statistiken.

När man har ett fungerande värde för ”integralen”, kan man beräkna bollens hastighet efter stöten.

Anta att bollend massa är 65 g och att den ligger i vila då vi stöter till den. Enligt impulsprincipen: Δp = I = 0,3084 Ns

punktint8

Bollen rör sig med ca 4,7 m/s

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 12

En rektangel har en sida på x-axeln och två hörn på kurvan y = cos x, då -\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}.

a) Bilda ett uttryck för rektangelns area A(t) som funktion av variabeln 0<t<\frac{\pi }{2} som är utmärkt i figuren.

b) Bestäm nollstället för derivatan av funktionen A(t) med två decimalers noggrannhet genom att använda en numerisk metod som du själv väljer.

c) Bestäm med en decimals noggrannhet närmevärdet för rektangelns största möjliga area.

2013-05-19 07-55-42 +00001

________________________________________________________________________a)

a)

V13MAA12_1

På bilden ovan har vi använt faktumet att \cos (t)=\cos (-t), vilket ger arean

A(t)=2t\cdot \cos (t) då 0<t<\frac{\pi }{2}

b)

Vi deriverar

V13MAA12_2

Att söka nollstället för detta uttryck UTAN cas-teknik, kräver en numerisk metod. Vi väljer t.ex. Newtons metod. Då måste vi derivera uttrycket en gång till och göra en gissning. Vi väljer t.ex. gissningen {{t}_{0}}=1.

V13MAA12_3V13MAA12_4

På högra bilden ses ”formeln” för Newtons metod. Sedan är det bara att trycka på Enter för att driva fram närmevärdet:

V13MAA12_6

Svaret är alltså uppenbart att derivatans nollställe är ca 0,86

c)

Här bör vi göra en teckenanalys. vi kontrollerar numeriskt:

V13MAA12_7V13MAA12_8

 

Arean ha alltså ett maximumvärde för t = 0,86 och detta är ca

V13MAA12_9

 

Alltså ca 1,1 area-enheter!

 

En gammal numerisk metod för beräkning av kvadratrötter

Följande metod tipsades bloggaren om av kollegan Anders Sörensen från Sverige.

Babylonierna kunde beräkna närmevärden för kvadratrötter med följande metod:

Anta att vi vill beräkna kvadratroten av 5. Det är uppenbart att roten ligger mellan 2 och 3 eftersom {{2}^{2}}=4 och {{3}^{2}}=9. Vi startar därför med en gissning på 2,5 eller 5/2 om vi föredrar bråk.

Om vi kvadrerar 5/2 får vi 25/4 eller 6,25, vilket betyder att vår gissning var för stor. Vi beräknar i stället 5 dividerat med 5/2, vilket ger 2 som kvadreras till 4 och är för litet. Nu resonerade man som så att om man tar medeltalet av den första gissningen {{x}_{1}} och 5/{{x}_{1}}, alltså \frac{{{x}_{1}}+5/{{x}_{1}}}{2}, borde man ha en förbättrad gissning. Sedan kör man från början. På en räknare är det enkelt att undersöka resonemanget med Ans-variablen:

bab1Bab2

Bab3

Observerar vad som hände. Först matar vi in 5/2 och trycker på Enter , vilket flyttar talet till Ans-variabeln. Sedan matar vi in uttrycket på rad 2! Nytt tryck på Enter uppdaterar Ans-variabeln. Sedan trycket man bara på Enter några gånger till, vilket leder till ett mastigt bråk, vars närmevärde ligger nära roten av 5.

Bab4

Om man vill jobba med närmevärden i stället, kan man göra ett par små knep. Den första gissningen kan matas in som närmevärdet 2,5. Då blir resten av talen också närmevärden. Om man råkar mata in först gissningen som bråk, kan man på andra raden mata in:

Bab5

Talet 1. på slutet (observera ”kommat”) förvandlar elegant bråk till decimaltal och närmevärden.

För att göra det hela lite mera spännande, ska vi se hur man grafiskt kunde följa med proceduren. Starta en grafskärm och definiera att vi ska jobba med Talföljder.

bab6bab7

Bab8

Det är uppenbart att metoden snabbt ger gissningar som konvergerar mot det rätta värdet. Prova gärna variera på startgissningen.

Det finns en annan spännande undersökningsmetod. Vi kan använda ett så kallat spindelnätsdiagram. Tryck på menu, väl Åtgärder och vidare Attribut. Peka sedan på grafen och ställ in enligt bilden:

Bab9 Bab10

Nu kan man dra den gröna punkten som visar ursprungsgissningen av och an längs x-axeln och se hur detta påverkar hur svaret uppnås.

SE Lång matematik matematik hösten 2012 – uppgift 12

12.

U12TL

____________________________________________________________________________

I tabellen visar raden t att tiderna genomgående har intervallet 3 h. Vi hat då parametrarna a = 0, b = 24 och h = 3.                                                          1 p

Trapetsregel ger:

\frac{1}{24}\int\limits_{0}^{24}{f(t)dt\approx \frac{1}{24}\cdot 3}\cdot \left( \frac{1}{2}\cdot 10,2+10,7+12,3+13,8+15,8+17,9+17,0+15,5+\frac{1}{2}\cdot 14,2 \right)\approx 14,4     4 p

Svar: Dygnets medeltemperatur är 14,4 grader C              1 p

Det här kan beräknas på flera olika sätt, men här väljs em listmetod. Då kan data matas i in listform och korrekturläsas:

U12L_1

(Skärmkapning från datorprogrammet)

Newtons metod

Här ska vi behandla en enkel demonstration om hur man kunde åskådliggöra Newtons metod: Vi börjar med att definiera en något mera invecklad funktion:

Idén är alltså att så snabbt som möjligt hitta ekvationens nollställe, utgående från en gissning. På bilden är nollstället redan fastställt till ca x = 2,66.

Om denna demonstration lagras i filform (modellexemplet finns lagrat i BOX till höger), kan funktionen omdefinieras, utan att demontsrationen ändrar karaktär.

På nästa flik har ett kort program definierats (på en räknarskärm). Programmets första rad visar Newtons lösningsformel inmatad. Gissningen är a.

Tredje fliken visar en delad skärm. Till vänster har vi en räknarskärm och till höger en grafskärm, där man ser hur man närmar sig lösningen. På grafskärmen har tangenten till funktionsgrafen ritats i gissningspunkten.

Man kör programmet genom att först mata in en gissning. Här är den 5. Sedan ger man kommandot new(), prorammets namn!

Efter det är det bara att trycka på enter och se hur det hela utvecklas: