Agnesis häxa

I det här inslaget ska vi undersöka en kurva med det dramatiska namnet Agnesis häxa. Den historiska bakgrunden kan man läsa om här. Vi ska börja med att konstruera grafen geometriskt. Sedan kommer det roliga. Kan man hitta på en funktion, vars avbildning denna graf är. Kunde vara en bra smått underhållande övningsuppgift för gymnasiematematiker/fysiker.

agnesi1Angesi2

Starta en grafskärm och konstruera en cirkel med medelpunkten på y-axeln, så att origo tangeras. Konstruera sedan en parallell till x-axeln som bilden visar. Dra ut en sträcka, eller ett segment som maskinen ”kallar” det, från origo till parallellen.

Agnesi3

Konstruera vidare parallellen till y-axeln i segmentets ändpunkt och parallellen till x-axeln i skärningspunkten mellan cirkeln och segmentet.

Om du nu flyttar segemntets änpunkt längs den linje den ligger på, genererar de två sistnämnda parallellernas skärningspunkt vår kurva.

Arbete så här långt lagras o Box-verktyget med namnet Agnesi.tnx.

Nu kan du göra följande: Spåra den nämnda skärningspunkten och se se på kurvan:

Agnesi4

Där är den, Agnesis häxa!

Försök hitta en funktion för den! Nedan visas några tips, men prova gärna själv (eller kapa filen för att roa elever, bekanta…).

Man kan också hitta en parametrisk framställning!

Några tips du kan följa finns nedan:

Agnesi5

Vi kan börja med att rita injen y=6 (cirkelns storlek bestämmer om vi väljer 6 eller inte). Nu skulle det gälla att ”böja linjen” med något matematiskt knep. Här följer några vanliga elevuppslag (detta är testat i fysiklaboratoriet):

Agnesi6

Nja!

Agnesi7

Börjat ta sig!

Agnesi8

 

Lite bättre! Men…

Agnesi9

 

Vi närmar oss. Här stoppas försöken! Jobba gärna vidare! Prova också om det går att jobba fram en parametrisk form

 

Annonser

En rolig egenskap hos ett polynom av fjärde graden!

Det följande har bloggaren inte hittat på. Lärde mig saken av min rikssvenske kollega Bengt Åhlander.

Vi ska se på ett polynom av fjärde graden med fyra reella nollställen. Vi kan ta exemplet nedan.

P€_1

Sedan markerar vi inflexionspunkterna (andra derivatans nollställen). I dessa ”ändras grafens krökningsriktning”. Wikipeda gärna för mera information!

P€_2

P€_3

Nu drar vi en linje genom dessa inflexionspunkter och markerar de övriga skärningspunkterna mellan linjen och grafen:

P€_4

Sedan mäter vi avståndet mellan skärningspunkterna som bilden visar (det kan löna sig att sätta in segment mellan punkterna och mäta dessa!)

P€_5

Nu till det intressanta. Vi markerar segmentens längder med variabelnamn och beräknar förhållandet mellan längderna!

P€_6

Hoppsan! Det ser ut som om förhållandet är det gyllene snittet! (Behandlas i andra inlägg i denna blogg).

Är det här en universell egenskap?? Kan läsaren bevisa saken?

 

Blommor och polära koordinater – ett litet matematiskt experiment

I det här inlägget ska vi roa oss med att försöka hitta matematiska samband i naturen. Bilderna i inlägget finns i en räknarfil i Box-verktyget. Namn: Blommor.tns

Vi börjar med en grafskärm och importerar en bild. I detta fall en hibiskus. Vi ska nu försöka hitta en matematisk funktion  som ligger nära blommans profil. Vi väljer polära koordinater och vinkelmåttet radianer.

Sedan är det bara att börja experimentera.

Här börjar vi närma oss en bra funktion. Fasförskjutningen har på bilden testats med ett skjutreglage.

 

Försök gärna bättra på det hela.

 

På en ny flik tar vi in ytterligare en bild:

Funktionen som har denna spiral som graf, visas inte! Försök tänka ut den!

 

Monte Carlo-metoden eller konsten att beräkna pi med en hagelbössa

En fil med detta exempel finns i BOX till höger!

Tänk dig att du tar ett stort kvadratiskt pappersark, t.ex. med sidolängden 2 m. Sedan inskriver du en cirkel i arket som bilden nedan visar:

Genom att slumpmässigt pricka in punkter på pappret, kan man få ett närmevärde för π. Hela papprets area är 4 kvadrartmeter. Eftersom den inskrivna cirkeln har radien 1 m, är cirkelns area π kvadratmeter. Om man jämför prickarna inom cirkeln med totala antalet prickar, bör man få ett närmevärde på π. Hur ska prickarna placeras. Man kund skjuta med hagelbössa eller kasta pil från ett större avstånd, men vi tar det lite mera fredligt här. Samtidigt ska vi ta os en titt på kommandot Rand()

Kommandot ger slumptal mellan 0 och 1. Kommandot rand(n) ger n sådana slumptal. Om kommandot ges ett stort antal gånger, kommer varje enskild siffra mellan 0 och 9 i decimalutvecklingen att förekomma i stort sett lika många gånger. Vi ska nu använda kommandot rand() för att generera punkterna på vårt pappersark.

Vi startar ett nytt dokument med en Antecknings-skärm. Sedan definierar vi två listor, en för x- och en för y-koordinater. Dessutom skapar vi en lista i vilken vi anger punkternas avstånd från origo, räknat med Pythagoras sats.

Sedan öppnar vi en ny flik med en räknarskärm Där startar vi ett enkelt program.

När programmet är inmatat, måste syntax kollas och programmet lagras. Detta sker via MENU. Programmet räknar hur många av punkterna som ligger inom cirkeln.

Nu kan vi återvända till Antecknings-skärmen. Programmet kan köras där.

Vid inmatning av ett nytt värde för n, får vi en ny uppskattning av π.

Vi kan ytterligare lägga till en Statistik-skärm för att se fördelningen av våra punkter.

Metoden att uppskatta t.ex. svårberäknade integraler med en slumptalsgenerator, kallas ofta för Monte Carlo-metoden. Namnet hänger samman med Casinot! Vårt exempel visar att pålitliga värden fås bara om vi generar stora antal punkter. Idén borde ändå vara klar.

Keplers tredje lag

Keplers lagar behandlas kort i kursen 5 i fysik i våra gymnasier. Den första och den andra lagen är lätta att förstå. Den tredje ser en aning knepigare ut. Här följer ett försök att åskådliggöra den.

Vi börjar med att söka upp data för planeterna i solsystemet. Här används standarduppslagsverket i Finlands skolor, MAOLs tabeller. Vi startar en kalkylarks-skärm och fyller i:

r – medelavstånd från solen, uttryckt i miljoner km; t – sideriska omloppstiden i år

Den sideriska omloppstiden mäts i relation till stjärnornan och inte i relation till jorden som rör på sig och roterar. Denna omloppstid är därför den ”riktiga”.

Textinmatning sker med sitationstecken!

När inmatningen är klar, väljer vi att låta räknaren anpassa en matematisk modell till dessa data:

Det är långt ifrån självklart vilken modell som passar bäst. I praktiken fungerar tre modeller oftare än andra inom fysiken, den linjära modellen, exponentialregressionen och potensregressionen (som det nu kallas i översättningen). Man kan prova sig fram, men vi gör det kort här och väljer enligt bilden:

Här ser vi ett sätt att kontrollera resultatet! Om korrelationskoefficienten r (som inte riktigt ses på bilden, medan r^2 gör det). Ju närmare 1 eller -i r ligger, desto bättre fungerar modellen. Om r går mot 0, är modellen uslig. Mera om detta i andra inlägg.

Nu är r i praktiken lika med 1. Perfekt modell alltså!

Vi ska undersöka den lite närmare:

Vi börjar med en snabb kontroll;

På statistikskärmen ser man planeterna utplacerade med avståndet på x-axeln och omloppstiden på y-axeln. Potensfunktionen testas. Vi ”träffar” uppenbart planeterna!

Här visas modellen på grafskärmen. Samtidigt har funktionens parametrar avrundats till hanterligare värden. Vi ska nu undersöka dessa!

Vi väljer en räknarskärm:

Vi putsar upp f1(x) en aning och uttrycker 1,49999 som 3/2. Sedan kvadrerar vi uttrycket och konstaterar att ”kvadraten på medelavståndet till solen är proportionell mot kuben på omloppstiden”, vilket under bloggarens gymnasiestudier stod skrivet i läroboken i HISTORIA! Jag frågade läraren vad det betyder. ”Vet inte, men det är säkert viktigt eftersom det står där”, blev svaret. Två gånger korrekt alltså!

Vi ska se vad man göra med lagen!

Vi väljer en asteroidtabell (MAOL).

Asteroiden Juno har medelavståndet 401 miljoner km från solen.

Den sideriska omloppstiden är då ca 4,4 år! Stämmer bra med tabellen.

Att räkna i ”andra riktningen” är ännu viktigare:

Iris har sideriska omloppstiden 3,68 år.

Medelavståndet från solen är alltså ca 360 miljoner km.

Hur viktigt speciellt det senare resultatet är, borde vara lätt att förstå. Det är rätt så enkelt att från jorden bestämma en omloppstid! I och med Keplers tredje lag kunde man då beräkna avstånd inom solsystemet!!!

Lagen innebar att man fick en hygglig måttstock på solsystemet. Om ett avstånd mättes pålitiligt, kunde andra avstånd beräknas. Under äldre tider var detta en utmaning, men idag kan avstånd mätas direkt med t.ex. radar- eller laserteknik.

Talet π – approximation med ett bråk

Talet π är idag så välbekant att vi tar det för givet. Enligt Wikipedia har man beräknat närmevärden för π med över 1 biljon decimaler. De flesta icke-matematiker/fysiker nöjer sig med närmevärdet 3,14.

Decimalutvecklingen är intressant. Talet π är irrationellt, och kan inte skrivas exakt i bråkform. Det är också transcendent, och kan därför inte exakt beskrivas med hjälp av algebraiska funktioner. Vi är alltså tvungna att använda mer eller mindre exakta närmevärden.

Vi fortsätter att använda Wikipedia:

För ca 3000 år sedan approximerade babylonierna π med 25/8

Egyptierna använde enligt Rhindpapyruset närmevärdet 256/81

Arkimedes, en känt smart kille, antog att 223/71 och 22/7 låg mellan 223/71 och 22/7

Kan vi prestera bättre inom en rimlig tidsram? Försöka duger! (Närmevärden beräknas med Ctrl-enter eller med kommandot approx())

Där satt den!

Vi slår Arkimedes! Vi har teknik till vår hjälp dock!

 

Försök gärna hitta på en bättre approximation.

Talet phi och det gyllene snittet

Följande övning hittar du i filform i Box till vänster i marginalen.

Alla känner till talet π. Faktum är att det finns andra märkliga tal som dyker upp för den som förstår att söka. Här ska vi se på ett spännande exempel, talet phi, eller Φ, som det skrivs med grekiskt tecken. Vi börjar med ett praktiskt exempel.

Begreppet ”gyllene snittet” var känt redan under antiken,men då under andra namn. Själva termen ”gyllene snittet” användes, så vitt man vet, först under första hälften av 1800-talet!

Vi ska nu undersöka om vi får talet Φ att dyka upp i diverse experiment.

Talet har en konstig egenskap. Om man inverterar det, faller 1 framför decimalkommat bort, men decimalutvecklingen är densamma!

Här stöter vi på vår första utmaning!

Sedan går vi till en geometrisk lustighet:

Konstruera en reguljär femhörning på en geometriskärm:

Konstruera ett så kallat pentagram i femhörningen:

Markera punkterna A, B och C på bilden (MENU, Åtgärder och Text). Mät sedan sträckorna AC och BC.

Ge sedan variabelnnamn åt måtten. Detta sker så att du markerar måtten med kursorn, trycker på tangenten VAR och väljer ett namn (1: Lagra Var). Välj sedan att mata in bc/ab som TEXT! Gå sedan till kommandot Beräkna och markera texten ac/bc. När du gör det ombeds du dessutom till dela värden åt ac och bc. Det sker så, att du med kursorn går till variabelmåttet och verifierar det.

Här visas ett närmevärde med tre gällande siffror. Talet Φ finns alltså inbakat i pentagramfiguren!

Sedan till nästa experiment. Denna gång väljer vi en Anteckningar-skärm + en Räknar-skärm:

Sedan är det bara att trycka på enter. Efter ett antal sådana tryck, kan du trycka på Ctrl-enter (närmevärde)

På så vis! Utmaning!

Sedan till ytterligare en liten lustighet!

Vi ska studera en så kallad Fibonacci-talfölj:

Kan vi beräkna termerna med något enklare knep?

Här är ett föreslag (bokstäverna a och b är upptagna på en tidigare flik). Observera att då kommandon skiljs åt av ett kolon, kan man utföra flera kommandon på samma rad. På skärmens först rad ges variablerna c och d värdet 1 vardera. Det motsvarar talföljdens två första termer. På andra raden matas tre kommandon in, vilka tillsammans definierar följande term i följden (tänk gärna igenom logiken). Sedan är det bara att trycka på enter. Beräkna ett större antal termer. Kopiera de två semnaste och beräkna förhållandet:

Beräkna ett lite större antal termer:

Flera exempel kunde säkert tas upp!

Det finns personer som är ”gyllene snittet”-freaks och ser talet phi spöka överallt, vilket kanske är att överdriva en aning.

Försök gärna hitta exempel där talet dyker upp u naturen, konsten eller annat. Goda idéer mottages gärna. Om du hittar på någonting snofsigt, är du välkommen att publiceras på denna blogg!