Undersökning av en rotfunktion

Uppgift 8 i kursprov MAA 8 våren 13, Brändö gymnasium

Låt funktionen f(x)=\sqrt{2-x-{{x}^{2}}}. a) Bestäm definitionsmängden b) Bestäm funktionens nollställen c) Bestäm det största och minsta värdet för funktionen d) Är funktionen deriverbar för alla värden inom sin definitionsmängd? Motivera. e) Rita funktionen i ett koordinatsystem. Är det fråga om en halvcirkel? Motivera.

_____________________________________________________________________

Vi tar en ”räknarlösning”. Motiveringarna kan vara bättre!

a)

k8_8_1

U8_8_2

b)

Nollställena bör vara samma som diskriminantens nollställen, vilket vi kan kontrollera:

U8_8_3

c)

Funktionens minsta värde är uppenbart 0, eftersom den antar värdet 0 i sina nollställer och rotfunktionen inte kan ha rella negativa värden. Största värdet kräver en derivering:

U8_8_4

Största värdet ser ut att vara 3/2. Grafisk kontroll:

U8_8_5

d)

Funktionen är inte deriverbar i funktionens nollställen. Motivering? T.ex. det att differenskvoten som definierar derivatabegreppet har det ensidiga gränsvärdet oändligt dessa punkter. En kontroll:

U8_8_6

 

OBS OBS OBS

Här finns en risk! Kolla:

U8_8_7

 

En direkt insättning av nollstället BERÄKNAR DERIVATAN NUMERISKT, trots att den INTE är definierad!

e)

Funktionen är ritad tidigare.

Det ÄR fråga om en halvcirkel. Ett litet resonemang se nedan:

U8_8_8

U8_8_9

Annonser

Derivering och motivering

Uppgift 6 i kursprov, MAA8, Brändö gymnasium, våren13

Motivera via uträkningar: ”Går tangenten i punkten x = 4 till kurvan y={{e}^{\sqrt{x}}} genom origo?

___________________________________________________________________________

Säg det!

Vi inleder med en grafisk kontroll:

MAA86_1

 

Nog ser tangenten ut att gå genom origo alltid, men en bild är inget bevis idessa sammanhang!

Vi tar en Anteckningarskärm (Nytt dokument) till hjälp:

MAA8_6_2

MAA8_6_2_3

MAA8_6_5

MAA8_6_6

 

Sammansatta funktioner – några råd och tips

Provuppgift 5 a) Kurs MAA8, Brändö gymnasium, våren 2013

Lös ekvationen (f\circ g)(x)=(g\circ f)(x), då f(x)=2x\quad \wedge \quad g(x)={{4}^{x}}

_____________________________________________________________________________

Vi ser hur räknaren kan komma till nytta här:

U5maa8_1

 

Ser ut att stämma bra!

Sedan till ekvationen:

U5maa8_2

 

Det var det!

Delsteg? Det finns möjligheter:

U5maa8_3

u5maa8_5

 

Eller någonting annat i den stilen!

 

Hur kan jag undersöka inversa funktioner

Exempel: (Provuppgift 1. i kursprov, MAA8, Brändö gymnasium)

a) Visa att funktionen f(x)={{e}^{2x}}+1 har en invers funktion.

b) Bestäm {{f}^{-1}}(x) och ({{f}^{-1}}{)}'(2)

c) Ange definitions- och värdemängderna för f(x) och {{f}^{-1}}(x)

_________________________________________________________________________

Vi provar oss på några knep och konster här, utan anspråk på en perfekt lösning. I Slutet på inlägget finns en länk till en videodemonstration.

a)

Om funktionen f(x) ska ha en invers funktion, måste den vara en ijektiv funktion. Här räcker det med att visa att den är monoton:

INF1

Derivatan är en strängt växande funktion (Nepers tal e > 1). Funktionen har en invers funktion.

b)

Vi ska försöka beräkna den inversa funktionen (vilket inte alltid är en enkel uppgift). Vi skriver om funktionen i ekvationsform, löser ut x och gör ett variabelbyte:

inf2

Funktionerna f1(x) och f2(x) torde nu vara varandras inversa funktioner. Det finns en kontrollmöjlighet. Om vi i det här skedet frånser definitions- och värdemängder, borde följande gälla: (f1\circ f2)(x)=(f2\circ f1)(x)=x

En snabb kontroll:

INf3

Verkar bra!

Nu återstår att beräkna ett steg till. Vi deriverar den inversa funktionen och beräknar vidare denna derivatas värde då x = 2

inf4

Här ser vi både derivatan av den inversa funktionen och det sökta värdet.

c)

Nu återstår definitions- och värdemängderna. En grafisk analys ger ett hum om saken. Vi ska ändå börja med doamin-kommandot, som ger defintionsmängderna:

inv5

Den ursprungliga funktionen är alltså definierad för alla reella x. Den inversa funktionen, som ju omfattar en logaritm, har defintionsmängden x > 1.

Sedan tar vi en bild:

invf6

Den ursprungliga funktionen antar alla värden större än 1 medan den inversa funktionen antar alla reella värden. Det första är uppenbart. Det senare kunde kräva något ytterligare argument.

Här följer en videodemonstration av några arbetsmöjligheter.

Sammansatta funktioner

En fråga som ställts bloggaren flera gånger av elever, är om man på ett vettigt sätt kan jobba med sammansatta funktioner med hjälp av räknaren.

Vi ska se på några enkla exempel.

SSF1

Här har ett par funktioner definierats. Observera att man kan göra detta på olika sätt!

För kontrollens skull är funktionerna utskrivna.

Nu ska vi se om räknaren klarar av att sammansätta funktionerna:

 

SSF2

Inga problem!