MAA7 Kursprov uppgift 3

Här ges uppgiften på räknarskärmen:

a)

Vi börjar med att undersöka lite:

Om vi undersöker definitionsmängden, ser vi att att det ursprungliga uttrycket inte är definierat för x = 1. Då återstår att försöka förenklar uttrycket. En möjlighet visas här. En annan möjlighet är att försöka sig på polynomdivision. Ska försöka undersöka det i andra inlägg.

Svaret visas på andra bildens sista rad.

b)

Det skulle vara ekalt att låt räknaren derivera direkt, men det ger inte många poäng. Vi utreder lite:

Här fick vi fram deriveringsregeln för kvoten mellan två funktioner (formeln finns givetvis i MAOLs tabeller – lite roligt ska vi ändå ha!)

Här visades några möjligheter att kontrollera stegen! Svaret framgår också. Sedan den andra funktionen:

Saken är bevisad!

Annonser

MAA7 Kursprov uppgift 2

a) Förklara vad det innebär att en funktion f(x) är kontinuerlig i en punkt x = a

b) Ge exempel på en funktion som är diskontinuerlig i punkten x = 2

c) Bestäm konstanten a så att funktionen f(x)=\left\{ \begin{array}{l}7-4x,x<a\\{{x}^{2}}+2x,x\ge a\end{array} \right. är kontinuerlig överallt.

a)

En funktion f(x) är kontinuerlig i punkten a om 2 villkor gäller:

1. \underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)

2. \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a)

Funktionen ska alltså ha ett entydigt gränsvärde i var och en av sina punkter och detta gränsvärde ska överensstämma med funktionsvärdet.

b)

Det finns massor av exempel. Vi hittar på ett.

Funktionen f(x)=\left\{ \begin{array}{l}x,x\le 2\\-x+1,x>2\end{array} \right.är diskontinurérlig i punkten x=2 med motiveringen att ett gränsvärde där saknas.

c)

Vi lägger upp vår strategi med en grafskärm.

Det skulle uppenbart fungera om vi definierar a så att funktionernas grafer ”sammanfaller”, vilket de gör på 2 ställen!!! Vi beräknar skärningspunkternas x-koordinater:

Villkoren uppfylls!

På motsvarande sätt kan punkten a = 1 testas.

Svar: a = -7 och a = 1

MAA7 Kursprov uppgift 1

a)

Det finns säkert olika lösningsstrategier, men vi börjar med att faktorisera första termens nämnare, vilket lyckas utan räknare, men vi tar det för exemplets skull:

Sedan förlänger vi så att uttryckets bråktermer för samma nämnare (och kontrollerar):

Kontroll:

b)

Olikheter av den här typen kan bli smått knepiga. Vi kan välja att kontrollera först, för att se vart vi är på väg!

Här alltså både en direkt kontroll och en grafisk sådan!

Man skulle vara frestad att ”lösa” uppgiften med ”korsvis multiplikation”, men det är farligt! Orsak: Multiplikation med ett negativt tal vänder om på olikhetstecknet. Vi experimenterar lite och konstaterar att x bör vara olika 0 och 2!

 

Sedan ser vi på nämnarnas tecken. Vänstra ledets nämnare är positiv då x<2 och negativ då x>2. Högra ledets nämnare är givetvis positiv då x>0 och negativ då x<0. Vi måste alltså kontrollera tre olika intervall och olikhetens riktning!

Observera hur detta fungerar. När vi multiplicerar OLIKHETEN med nämnaren, utvecklas uttrycket bara om vi specificerar vilket definitionsområde vi avser! Framgår av bilden till höger!

Vi har ett svar, men det duger inte, eftersom vi jobbar i intervallet x>2!

Om både intervall och lösning beaktas HAR vi en lösning! Nämligen 1≤x<2.

Ett intervall kvar:

Kombination av definitionsintervall och svar, ger lösningen x<0!

Sedan är det bara att sammanställa och jämföra med kontrollen i början!

 

Derivatans definition som gränsvärde för en differenskvot

Vi antar att en funktion f(x) är definerad i ett intervall  \left] {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right[ och att {{x}_{0}}\in \left] {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right[.

Derivatan af funktionen f(x) i punkten {{x}_{0}} definieras som

\frac{df(x)}{dx}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

alternativt

\frac{df(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}{h}

Här refereras till läroboken i matematik för ytterligare detaljer. Observera också att derivatan kan betecknas på andra sätt än ovan, t.ex. f´(x) .

Vi tar ett exempel och börjar med anteckningar-skärmen:

Sedan fortsätter vi med räknarskärmen för jämförelsens skull:

Gränsvärden och deriverbarhet

För att funktion ska vara deriverbar i en punkt x, ska vissa villkor uppfyllas. Funktionen ska

– vara kontinuerlig i x

– ha samma höger- och vänstersidiga gränsvärde för sin derivata i x

Vi undersöker funktionen f(x)=\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x}^{2}}}{3}-2x-1,\ x<1\\x\ ,x\ge 1\end{array} \right.. Kan funktionen vara deriverbar i punkten x = 1?

Vi matar in och kontrollerar:

Redan den visuella inspektionen visar att funktionen inte är deriverbar. Den är uppenbart diskontinuerlig i punkten x = 1.

Nästa fråga:

Kan vi gör funktionen f(x)=\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x}^{2}}}{3}-2x-1,\ x<1\\x+a\ ,x\ge 1\end{array} \right. kontinuerlig, genom att välja ett lämpligt värde för a?

Vi provar:

Eftersom a inte är definierad, kan funktionen inte ännu ritas i sin helhet. Vi gör nu funktionen kontinuerlig, genom att ge den samma vänstersidiga gränsvärde i x=1 som det definierade funktionavärdet:

Observera att det går bra att ändra funktionsuttrycket också direkt på grafskärmen. Nu har vi en kontinuerlig funktion. Är den deriverbar i punkten x = 1? Vi gör en snabb kontoll:

Fungerar inte! På folkspråk kunde man säga att det här beror på ”ett hörn” i x=1. Vad kan vi göra åt saken?

Vi definierar om funktionen en gång till:

f(x)=\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x}^{2}}}{3}-2x-1,\ x<1\\k\cdot x+a\ ,x\ge 1\end{array} \right.

Kan vi få funktionen att vara både kontinuerlig och deriverbar i x = 1?

Nytt försök:

Observera på vänstra bilden att funktionen INTE har ett derivatauttryck  punkten x = 1 (ännu). På högra bilden utnyttjar vi derivatauttrycket. Vänster- och högergränsvärdet i x = 1 ska vara lika. Då får vi ut k. Vi insätter k i funktionsuttrycket och bestämmer att själva funktionen ska samma gränsvärde i x = 1. Den här gången får vi ut ett värde för a.

Vi sätter in och kontrollerar:

Så ska det se ut! Funktionen är deriverbar (överallt).

Rationella funktioner – ett par exempel

Jämför de rationella funktionerna f(x)=\frac{{{x}^{2}}-5x-14}{x-3} och f(x)=\frac{{{x}^{2}}-5x-14}{x+2}.

Vi matar in på räknarskärmen och undersöker grafiskt:

På något väsentligt sätt skiljer sig de två funktionerna från varandra! Varför det! Vi undersöker:

 

Om vi söker täljarens nollställen och faktoriserar den, ser vi att vi kan förkorta bort nämnaren i funktionen g(x). I fallet f(x) är det inte så enkelt. Grafen av g(x) och linjen h(x) = x-7 ser alltså ut att vara identiska, MEN:

Observera att g(x) INTE är definerad i punkten x = -2.

Definitionsmängderna framgår ur den högra bilden! Värdemängderna är alla de reella talen!

 

 

Definitionsmängd, värdemängd, minsta och största värde

Vi tar några olika exempel här. Vi ska undersöka en funktion med rätt så primitiva hjälpmedel. Gränsvärden och derivator tas upp i andra inlägg. Vi ska också se på en farlig FELTOLKNINGSMÖJLIGHET!

Vi börjar med att undersöka funktionen

f(x)={{x}^{2}}+2x-3

Bestäm definitionsmängd, minsta och största värde samt slutligen värdemängden.

Här har vi definierat funktionen på räknarskärmen och sedan ritat den på grafskärmen. På räknarskärmen hittar man defintionsmängden med kommandot domain. Funtionen är alltså definierad för alla reella tal x.

Funktionen saknar maximumvärde. Den kan få ”hur stora värden som helst”. Minimum har den däremot.

I punkten x = -1 antar funktionen sitt minsta värde f(x) = -4

Vi har alltså hittat värdemängden. Funktionen antar värden mellan -1 och ∞.

Sedan ska vi ställa frågan på ett lite annat sätt:

Analysera samma funktion om vi begränsar definitionsmängden: x\in \left[ -3,2 \right[

Funktionen har samma minimum som ovan, men hur är det med ett maximum? Den har ett lokalt maximum i punkten x = -3, men i hela definitionsområdet SAKNAR DEN ETT STÖRSTA VÄRDE! Hur ser det ut om vi kontrollerar detta grafiskt?

Observera att en grafisk sökning HITTAR ETT ICKE-EXISTERANDE MAXIMUM! Det här beror på att grafiken fungerar med närmevärden! Det finns ett sätt att kontrollera ytterligare dock:

På räknarskärmen visar det sig att f(2) INTE är definierat! Då kan det inte heller vara ett största värde!

Se upp för denna fälla!