Tangenten till en parabel genom en punkt

pt1

Detta problem är långt ifrån banalt. Man räknar lätt fel på vägen. Problemet är därför ett bra exempel på hur CAS kan utnyttjas effektivt.  Man måste känna till matematiken. Räknare hjälper med det praktiska! Vi kör med bildkapningar. Texten torde förklara resonemanget.

PT6PT8

 

Sedan kontrollerar vi (och använde datorskärmen för att vinna lite utrymme):

tp10

 

 

 

MAA7 Kursprov uppgift 9

I en rak cirkulär kon, ska en rak cirkulär cylinder inskrivas så, att cylinderns symmetriaxel sammanfaller med konens symmetriaxel. Cylinderns ena basyta ligger på konens basyta, medan periferin (omkretsen) av cylinderns andra basyta ligger på konens mantelyta. Konens höjd är 10 längdenheter och basytans radie är r. Bestäm cylinderns höjd, så  att dess volym blir så stor som möjligt. (Ledtråd: rita bilder och tänk på likformiga trianglar).

Vi inleder med att öppna en geometri-skärm och ritar en sidoprojektion av situationen: (alla kommandon finns bakom menu-tangenten!)

För att få en RAK cirkulär kon, rutas först ett segment. Sedan markeras mittpunktsnormalen till segmentet och konens sidor dras ut.  Sedan konstrueras en parallell till bassegmentet och paraleller med mitppunktsnormalen. Slutligen markeras nya segment så att cylinderns sidoprofil visas. Läget är nu, före och efter det att onödiga elements dolts:

Vi kallar nu höjden i cylindern för h och cylinderns radie rc. Då är höjden i den lilla topptriangeln 10-h.  Vi kan ställa upp följande förhållande grundat på trianglars likformighet:

Den sista raden visar en möjlighet att få fram derivatan nollställen. Om h = 10  har vi ett minimum (volymen är = 0). Om h = 10/3 har vi ett maximum. Definitionsmängden är 0 < h < 10.

Svar: h = 10/3 ger maximal volym.

Återstår bara att anteckna idéerna prydligt på provpappret!

 

MAA7 Kursprov uppgift 8

Bestäm tangenten till y={{x}^{3}} i punkten (2,8). I vilken punkt skär tangenten y-axeln? Bestäm arean av den triangel som begränsas av y-axeln, tangenten och linjen y = 8.

Vi börjar med att derivera, för att få fram tangentens riktningskoefficient.

 

OK. Tangenten har riktningskoefficienten k = 12. Vidare känner vi till en punkt (8,12) på tangenten. Vi kan då beräkna tangentens ekvation med enpunktsformeln, vilket visas ovan till höger. Vi ser att y-axeln skär i punkten -16.

Nu kan det vara lämpligt att rita en bild:

 

På vänstra bilden har punkten (2,8) markerats. Sedan har tangenten till punkte konstruerats och dess ekvation plockats fram. Slutligen har linjen y = 8 ritats ut. Samtliga skärningspunker av intresse har markerats och deras koordinater skrivits ut. Kommandon för allt detta finns bakom menu-tangenten!

Triangeln som efterfrågas har höjden 24 längdenheter, basen 2 l.e. och därför arean 24 kvadratenheter. Vi kan kontrollera saken på vår grafskärm. Vi konstruerar en triangel mellan lämpliga skärnimngspunkter och mäter dessa area. Alla verktyg finns bakom menu-tangenten. PROVA!

 

 

 

MAA7 Kursprov uppgift 6

Bestäm f’(2), då f(x)=\frac{1}{x-3}

a) med hjälp av derivatans definition (3p)

b) grafiskt (1,5 p)

c) Jämför svaren i de två fallen och fundera på tillförlitligheten i dem (1,5 p)

 

a)

Vi väljer att beräkna gränsvärdet för differenskvoten \frac{f(x)-f(2)}{x-2}. Observera metoden. Vi ”räknar själv” och kontrollerar resultatens tillförlitlighet! Det här gör det lättare att föra över anteckningar på provpappret!

Svar: f’(2) =-1

b) löses med paper och penna

c) ”Uppskattningsderivering” lyckas sämre! På bilden nedan ses situationen sådan den borde se ut.

 

 

MAA7 Kursprov uppgift 5

Bestäm extremvärden och värdemängd, då f(x):\left[ -1,4 \right]\to \mathbb{R}f(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}

Vi definierar och deriverar (på Anteckningar-skärmen):

Vi har alltså eventuella extremvärden i punkterna x =-1, x = 0 och x=4

Ett teckenschema bör ritas på uppgiftspappret. Vi kontrollerar tecken (även utanför definitionsmängden, vi begränsar senare):

Vi har alltså lokala minima för f(-1) och f(4) och ett lokalt maximum i f(0). Vi beräknar värdet för dessa:

Värdemängden är alltså -128 ≤ f(x) ≤ 0 för den givna definitionsmängden. Grafisk kontroll:

MAA7 Kursprov uppgift 4

a)

I vilka intervall är funktionen f(x)=\frac{1-{{x}^{2}}}{1+x} växande?

b)

Bestäm den punkt på parabeln y={{x}^{2}}+2x-1 för vilken summan av x- och y-koordinaterna är den minsta möjliga.

a)

Vi deriverar (med kontroll):

Ser ut att stämma! Slutsats: Funktionen är avtagande för alla x olika -1. Svar på frågan: Aldrig

Grafisk kontroll:

b)

Nu söker vi alltså en punkt sådan att x+y ska minimeras. Vi omskriver lite och definierar en funktion:

Eftersom grafen av f1(x) är en parabel som öppnas uppåt, ger derivatans nollställe ett minimum. Punkten har alltså koordinaterna: (x,y) = (-3/2,-13/4)

Grafisk kontroll:

 

MAA7 Kursprov uppgift 3

Här ges uppgiften på räknarskärmen:

a)

Vi börjar med att undersöka lite:

Om vi undersöker definitionsmängden, ser vi att att det ursprungliga uttrycket inte är definierat för x = 1. Då återstår att försöka förenklar uttrycket. En möjlighet visas här. En annan möjlighet är att försöka sig på polynomdivision. Ska försöka undersöka det i andra inlägg.

Svaret visas på andra bildens sista rad.

b)

Det skulle vara ekalt att låt räknaren derivera direkt, men det ger inte många poäng. Vi utreder lite:

Här fick vi fram deriveringsregeln för kvoten mellan två funktioner (formeln finns givetvis i MAOLs tabeller – lite roligt ska vi ändå ha!)

Här visades några möjligheter att kontrollera stegen! Svaret framgår också. Sedan den andra funktionen:

Saken är bevisad!

MAA7 Kursprov uppgift 2

a) Förklara vad det innebär att en funktion f(x) är kontinuerlig i en punkt x = a

b) Ge exempel på en funktion som är diskontinuerlig i punkten x = 2

c) Bestäm konstanten a så att funktionen f(x)=\left\{ \begin{array}{l}7-4x,x<a\\{{x}^{2}}+2x,x\ge a\end{array} \right. är kontinuerlig överallt.

a)

En funktion f(x) är kontinuerlig i punkten a om 2 villkor gäller:

1. \underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)

2. \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a)

Funktionen ska alltså ha ett entydigt gränsvärde i var och en av sina punkter och detta gränsvärde ska överensstämma med funktionsvärdet.

b)

Det finns massor av exempel. Vi hittar på ett.

Funktionen f(x)=\left\{ \begin{array}{l}x,x\le 2\\-x+1,x>2\end{array} \right.är diskontinurérlig i punkten x=2 med motiveringen att ett gränsvärde där saknas.

c)

Vi lägger upp vår strategi med en grafskärm.

Det skulle uppenbart fungera om vi definierar a så att funktionernas grafer ”sammanfaller”, vilket de gör på 2 ställen!!! Vi beräknar skärningspunkternas x-koordinater:

Villkoren uppfylls!

På motsvarande sätt kan punkten a = 1 testas.

Svar: a = -7 och a = 1

MAA7 Kursprov uppgift 1

a)

Det finns säkert olika lösningsstrategier, men vi börjar med att faktorisera första termens nämnare, vilket lyckas utan räknare, men vi tar det för exemplets skull:

Sedan förlänger vi så att uttryckets bråktermer för samma nämnare (och kontrollerar):

Kontroll:

b)

Olikheter av den här typen kan bli smått knepiga. Vi kan välja att kontrollera först, för att se vart vi är på väg!

Här alltså både en direkt kontroll och en grafisk sådan!

Man skulle vara frestad att ”lösa” uppgiften med ”korsvis multiplikation”, men det är farligt! Orsak: Multiplikation med ett negativt tal vänder om på olikhetstecknet. Vi experimenterar lite och konstaterar att x bör vara olika 0 och 2!

 

Sedan ser vi på nämnarnas tecken. Vänstra ledets nämnare är positiv då x<2 och negativ då x>2. Högra ledets nämnare är givetvis positiv då x>0 och negativ då x<0. Vi måste alltså kontrollera tre olika intervall och olikhetens riktning!

Observera hur detta fungerar. När vi multiplicerar OLIKHETEN med nämnaren, utvecklas uttrycket bara om vi specificerar vilket definitionsområde vi avser! Framgår av bilden till höger!

Vi har ett svar, men det duger inte, eftersom vi jobbar i intervallet x>2!

Om både intervall och lösning beaktas HAR vi en lösning! Nämligen 1≤x<2.

Ett intervall kvar:

Kombination av definitionsintervall och svar, ger lösningen x<0!

Sedan är det bara att sammanställa och jämföra med kontrollen i början!