Tangenten till en parabel genom en punkt

pt1

Detta problem är långt ifrån banalt. Man räknar lätt fel på vägen. Problemet är därför ett bra exempel på hur CAS kan utnyttjas effektivt.  Man måste känna till matematiken. Räknare hjälper med det praktiska! Vi kör med bildkapningar. Texten torde förklara resonemanget.

PT6PT8

 

Sedan kontrollerar vi (och använde datorskärmen för att vinna lite utrymme):

tp10

 

 

 

Annonser

MAA7 Kursprov uppgift 9

I en rak cirkulär kon, ska en rak cirkulär cylinder inskrivas så, att cylinderns symmetriaxel sammanfaller med konens symmetriaxel. Cylinderns ena basyta ligger på konens basyta, medan periferin (omkretsen) av cylinderns andra basyta ligger på konens mantelyta. Konens höjd är 10 längdenheter och basytans radie är r. Bestäm cylinderns höjd, så  att dess volym blir så stor som möjligt. (Ledtråd: rita bilder och tänk på likformiga trianglar).

Vi inleder med att öppna en geometri-skärm och ritar en sidoprojektion av situationen: (alla kommandon finns bakom menu-tangenten!)

För att få en RAK cirkulär kon, rutas först ett segment. Sedan markeras mittpunktsnormalen till segmentet och konens sidor dras ut.  Sedan konstrueras en parallell till bassegmentet och paraleller med mitppunktsnormalen. Slutligen markeras nya segment så att cylinderns sidoprofil visas. Läget är nu, före och efter det att onödiga elements dolts:

Vi kallar nu höjden i cylindern för h och cylinderns radie rc. Då är höjden i den lilla topptriangeln 10-h.  Vi kan ställa upp följande förhållande grundat på trianglars likformighet:

Den sista raden visar en möjlighet att få fram derivatan nollställen. Om h = 10  har vi ett minimum (volymen är = 0). Om h = 10/3 har vi ett maximum. Definitionsmängden är 0 < h < 10.

Svar: h = 10/3 ger maximal volym.

Återstår bara att anteckna idéerna prydligt på provpappret!

 

MAA7 Kursprov uppgift 8

Bestäm tangenten till y={{x}^{3}} i punkten (2,8). I vilken punkt skär tangenten y-axeln? Bestäm arean av den triangel som begränsas av y-axeln, tangenten och linjen y = 8.

Vi börjar med att derivera, för att få fram tangentens riktningskoefficient.

 

OK. Tangenten har riktningskoefficienten k = 12. Vidare känner vi till en punkt (8,12) på tangenten. Vi kan då beräkna tangentens ekvation med enpunktsformeln, vilket visas ovan till höger. Vi ser att y-axeln skär i punkten -16.

Nu kan det vara lämpligt att rita en bild:

 

På vänstra bilden har punkten (2,8) markerats. Sedan har tangenten till punkte konstruerats och dess ekvation plockats fram. Slutligen har linjen y = 8 ritats ut. Samtliga skärningspunker av intresse har markerats och deras koordinater skrivits ut. Kommandon för allt detta finns bakom menu-tangenten!

Triangeln som efterfrågas har höjden 24 längdenheter, basen 2 l.e. och därför arean 24 kvadratenheter. Vi kan kontrollera saken på vår grafskärm. Vi konstruerar en triangel mellan lämpliga skärnimngspunkter och mäter dessa area. Alla verktyg finns bakom menu-tangenten. PROVA!

 

 

 

MAA7 Kursprov uppgift 6

Bestäm f’(2), då f(x)=\frac{1}{x-3}

a) med hjälp av derivatans definition (3p)

b) grafiskt (1,5 p)

c) Jämför svaren i de två fallen och fundera på tillförlitligheten i dem (1,5 p)

 

a)

Vi väljer att beräkna gränsvärdet för differenskvoten \frac{f(x)-f(2)}{x-2}. Observera metoden. Vi ”räknar själv” och kontrollerar resultatens tillförlitlighet! Det här gör det lättare att föra över anteckningar på provpappret!

Svar: f’(2) =-1

b) löses med paper och penna

c) ”Uppskattningsderivering” lyckas sämre! På bilden nedan ses situationen sådan den borde se ut.

 

 

MAA7 Kursprov uppgift 5

Bestäm extremvärden och värdemängd, då f(x):\left[ -1,4 \right]\to \mathbb{R}f(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}

Vi definierar och deriverar (på Anteckningar-skärmen):

Vi har alltså eventuella extremvärden i punkterna x =-1, x = 0 och x=4

Ett teckenschema bör ritas på uppgiftspappret. Vi kontrollerar tecken (även utanför definitionsmängden, vi begränsar senare):

Vi har alltså lokala minima för f(-1) och f(4) och ett lokalt maximum i f(0). Vi beräknar värdet för dessa:

Värdemängden är alltså -128 ≤ f(x) ≤ 0 för den givna definitionsmängden. Grafisk kontroll:

MAA7 Kursprov uppgift 4

a)

I vilka intervall är funktionen f(x)=\frac{1-{{x}^{2}}}{1+x} växande?

b)

Bestäm den punkt på parabeln y={{x}^{2}}+2x-1 för vilken summan av x- och y-koordinaterna är den minsta möjliga.

a)

Vi deriverar (med kontroll):

Ser ut att stämma! Slutsats: Funktionen är avtagande för alla x olika -1. Svar på frågan: Aldrig

Grafisk kontroll:

b)

Nu söker vi alltså en punkt sådan att x+y ska minimeras. Vi omskriver lite och definierar en funktion:

Eftersom grafen av f1(x) är en parabel som öppnas uppåt, ger derivatans nollställe ett minimum. Punkten har alltså koordinaterna: (x,y) = (-3/2,-13/4)

Grafisk kontroll: