Ett lustigt polynomproblem

För vilket polynom P(x) av åttonde graden gäller P(k)=1/k för k =1, 2, … , 9.

Diplomingenjören och blivande kollegan Edward Krogius visade det här roliga problemet åt bloggaren på Facebook. Han hade vänligheten att bifoga en lösning också. det tackar man för!

Eftersom mången läsare möjligen håller på att slipa sina matematiska färdigheter (det gör bloggaren som är fysiker också) tar jag mig friheten att presentera ett enklar problem, för att demonstrera lösningens logik.

Vi undersöker först för vilket polynom av ANDRA graden villkoret P(k)=1/k gäller för k = 1, 2 och 3.

Om villkoret P(k)=1/gäller, bör vi ha: kP(k) = 1 eller med andra ord kP(k) – 1 = 0

Vi definierar då polynomet Q(x) = xP(x) – 1.

Sedan använder vi faktorsatsen: xP(x) – 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) , vilket vi har en möjlighet att utveckla, med eller utan CAS! Först får vi: xP(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)+1 och sedan:

P(x)=\frac{a(x-1)(x-2)(x-3)+1}{x}

Vi utvecklar lite:

P(x)=a{{x}^{2}}-6ax-\frac{6a-1}{x}+11a

Snabbkontroll:

EK1

Verkar bra!

Om vi nu vill att P(x) ska vara ett POLYNOM, bör vi dessutom kräva att termen med x i nämnaren är noll:

\frac{6a-1}{x}=\frac{3!a-1}{x}=0

Det leder till a = 1/3!

Hela polynomet är nu P(x)=\frac{1/3!\cdot (x-1)(x-2)(x-3)+1}{x}

eller P(x)=\frac{1}{6}{{x}^{2}}-x+\frac{11}{6}

Då återstår lite kontroll:

EK2

EK3

SEGER! Det lyckades. Man måste bara förstå faktorsatsen och sedan pyssla lite!

Den här lättare uppgiften kunde fungera som en provuppgift utan CAS. Hur är det med en ursprungliga?

Det är ytterst jobbigt att för hand utveckla ett sådant polynom. Bra CAS-uppgift alltså. Det gäller tt förstå PRINCIPEN, inte att manipulera siffror som en robot!

Vi definierar nu polynomet: Q(x)=a(x-1)(x-2)…(x-9)=xP(x)-1

Eftersom Q(x) är ett polynom, ska vi igen kräva att 1+9!a = 0, eller a = 1/9! (Experimnetera gärna med räknaren).

Vi borde då få ett polynom för vilket villkoret i texten gäller:

P(x)=\frac{1/9!\cdot (x-1)(x-2)\cdot ...\cdot (x-9)+1}{x}

Vi ska inte utveckla detta manuellt. Kolla det ska vi!

EK4

EK6

EK7

Jo jo!

Annonser

Funktioner av typen x = g(y)

Här har vi en annan godbit i operativsystemet 3.2. När vi behandlar t.ex. begreppet inversa funktioner, kan följande möjlighet vara av intresse (om vi klampar på lite försiktigt).

Vi börjar med att rita en ”standardparabel”:

Sedan väljer vi via menu-tangenten:

Sedan matar vi i en textruta, var som helst på skärmen, enligt bilden:

Och så följer knepet. Vi måste trycka på ESC för att bli av med dialogrutan uppe till vänster på skärmen. Sedan drar vi textrutan till en av koordinataxlarna och säger ”viola” som fransmännen:

Det återstår förstås lite strul med definitionsmängder och annat, men möjligheten är intressant. Man kunde kanske kombinera detta med domain-kommandot, som behandlats i ett annat inlägg!

Var och en kan säkert hitta ytterligare tillämpningar på egen hand.

Kvadratkomplettering

Konsten att lösa ekvationer av andra graden, bygger långt på att man känner till ”formeln”! En ekvation av typen

a{{x}^{2}}+bx+c=0

har lösningen

x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}

Härledningen av detta är en sak för sig, som ska tas upp i ett annat inlägg.

En alternativ lösningsmetod är kvadratkompletteringen. Den bygger på kvadratformeln:

{{(a\pm b)}^{2}}={{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}

Vi ska se på ett exempel:

Anta att {{x}^{2}}-4x+4=0

Vi kan utnyttja regeln och skriva om uttrycket som: {{(x-2)}^{2}}=0

Nu är det lätta lösa uttrycket via faktorisering: (x-2)(x-2)=0

Vi har alltså en dubbelrot: x=2

Allt bra så långt, men hur går det t.ex. i fallet:

{{x}^{2}}-x-6=0

Problemet är att vi inte direkt kan utnyttja kvadratformeln för att faktorisera. Nu kan vi i stället kvadratkomplettera:

Vi utgår från att {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}

Det här påminner en del om {{x}^{2}}-x-6

Det är så att säga siffertermen som är fel! Den borde vara 1/4men är nu -6. Vi skriver därför om en aning:

{{x}^{2}}-x-6+\frac{25}{4}=0+\frac{25}{4}

och bearbetar:

{{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}

{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4}

x-\frac{1}{2}=\pm \frac{5}{2}

Nu ser vi två lösningar skymta:

x = -2 och x = 3

Detta ska kontrolleras:

Lösningen stämmer. Kvadratkomplettering underlättas av kommandot completeSquare. Man får ett bra förslag om hur det hela går till här.

I mera invecklade fall, som t.ex. involverar kvadratrötter i delstegen, kan kommandot verkligen bli nyttigt!