Härledning av en allmän lösningsformel för ekvationer av andra graden

Här används kvadratkomplettering för att härleda en allmän lösningsformel, den så kallade ”a,b,c-fomeln”, som tillämpas på ekvationer av andra graden. Detta inlägg visar att CAS också kan användas i matematiska resonemang och bevisföringar.

En fil med det visade innehållet kan laddas ned här.

24-10-2015 Skärmbild001

24-10-2015 Skärmbild002

 

 

Annonser

Några grafiska knep och konster

Grafisk analys av funktioner och deras egenskaper, ger kanske inte alltid ”fulla poäng” i ett matematikprov, men som kontrollmöjlighet är den grafiska analysen värdefull. Vi matar in ett par funktioner och experimenterar.

23-10-2015 Skärmbild001

Nu ska vi undersöka Analysverktyget:

Skärmen54

Med kommandot 1: Nollställe hittar du som namnet säger nollställen för en funktion. Om du väljer detta alternativ, ska du först klicka på den funktion du vill ha nollstället för, t.ex. parabeln. SEdan markerar du ett sökintervall, inom vilket du vill hitta nollstället. På bilden ses ett av parabelns nollställen. 23-10-2015 Skärmbild002

Kommandona Minimum och Maximum, fungerar i princip helt lika.

4: Skärningspunkt, söker fram skärningspunkten mellan två grafer. Också här måste du markera sökområdet och möjligen klicka på de grafer du jobbar med, om många finns på skärmen. Bilden visar en av skärningspunkterna mellan linjen och parabeln.

23-10-2015 Skärmbild003

Kommandot Inflexion ska kommenteras senare i ett annat sammanhang.

Kommandot 6: dy/dx ger den numeriska derivatan i en punkt på en graf. På bilden ses en av punkterna på parabeln. Begreppet derivata gås igenom under åk 2, men nämnas kan att derivatan kan ses som ett mått på ”förändring”. Om en funktion avtar är derivatan negativ, om den växer är derivatan noll. Vad är den i toppen av en parabel?? Experimentera!

23-10-2015 Skärmbild004

Kommandot 7: Integral är intressant, bland annat eftersom det kan utnyttjas redan under grundkursen i fysik. Inom matematiken dyker integralen upp senare. Ett sätt att uppfatta begreppet integral, är att med den kan beräkna arean mellan x-axeln och en graf. (Man kan gör mycket annat också). Grafisk integration sker så, att man väljer två punkter på x-axeln, och integrerar ”mellan dem”. På bilden visas ett exempel. Arean har ett negativt värde, eftersom den ligger under x-axeln.

23-10-2015 Skärmbild005

Man kan också med kommandot 8: Avgränsat område, beräkna arean mellan grafer. På bilden visas arean av det område de två graferna på bilden avgränsar tillsammans.

23-10-2015 Skärmbild007

Det kan vara skäl att experimentera med dessa kommandon och se till att man sanbbt kan kontrollera matematiska/fysikaliska problemlösningar med dem.