Härledning av en allmän lösningsformel för ekvationer av andra graden

Här används kvadratkomplettering för att härleda en allmän lösningsformel, den så kallade ”a,b,c-fomeln”, som tillämpas på ekvationer av andra graden. Detta inlägg visar att CAS också kan användas i matematiska resonemang och bevisföringar.

En fil med det visade innehållet kan laddas ned här.

24-10-2015 Skärmbild001

24-10-2015 Skärmbild002

 

 

Några grafiska knep och konster

Grafisk analys av funktioner och deras egenskaper, ger kanske inte alltid ”fulla poäng” i ett matematikprov, men som kontrollmöjlighet är den grafiska analysen värdefull. Vi matar in ett par funktioner och experimenterar.

23-10-2015 Skärmbild001

Nu ska vi undersöka Analysverktyget:

Skärmen54

Med kommandot 1: Nollställe hittar du som namnet säger nollställen för en funktion. Om du väljer detta alternativ, ska du först klicka på den funktion du vill ha nollstället för, t.ex. parabeln. SEdan markerar du ett sökintervall, inom vilket du vill hitta nollstället. På bilden ses ett av parabelns nollställen. 23-10-2015 Skärmbild002

Kommandona Minimum och Maximum, fungerar i princip helt lika.

4: Skärningspunkt, söker fram skärningspunkten mellan två grafer. Också här måste du markera sökområdet och möjligen klicka på de grafer du jobbar med, om många finns på skärmen. Bilden visar en av skärningspunkterna mellan linjen och parabeln.

23-10-2015 Skärmbild003

Kommandot Inflexion ska kommenteras senare i ett annat sammanhang.

Kommandot 6: dy/dx ger den numeriska derivatan i en punkt på en graf. På bilden ses en av punkterna på parabeln. Begreppet derivata gås igenom under åk 2, men nämnas kan att derivatan kan ses som ett mått på ”förändring”. Om en funktion avtar är derivatan negativ, om den växer är derivatan noll. Vad är den i toppen av en parabel?? Experimentera!

23-10-2015 Skärmbild004

Kommandot 7: Integral är intressant, bland annat eftersom det kan utnyttjas redan under grundkursen i fysik. Inom matematiken dyker integralen upp senare. Ett sätt att uppfatta begreppet integral, är att med den kan beräkna arean mellan x-axeln och en graf. (Man kan gör mycket annat också). Grafisk integration sker så, att man väljer två punkter på x-axeln, och integrerar ”mellan dem”. På bilden visas ett exempel. Arean har ett negativt värde, eftersom den ligger under x-axeln.

23-10-2015 Skärmbild005

Man kan också med kommandot 8: Avgränsat område, beräkna arean mellan grafer. På bilden visas arean av det område de två graferna på bilden avgränsar tillsammans.

23-10-2015 Skärmbild007

Det kan vara skäl att experimentera med dessa kommandon och se till att man sanbbt kan kontrollera matematiska/fysikaliska problemlösningar med dem.

MAA1 – ett kursprov med förslag till räknarlösningar

OBS Detta blogginlägg utvecklas ända tills denna textrad försvinner!

MAA 1

Kursprov 21.9.2007

Besvara 6 av 8 uppgifter. (max 6x6p=36p). Dessutom får du besvara bonusuppgiften. (+3p → max 39/36p)

Besvara uppgift nummer 1 på ett dubbelark och resten av frågorna på separata enkla ark. Ifall du inte väljer uppgift nummer 1 så skriv enbart ditt namn på dubbelarket. Ordna de enkla arken i rätt ordningsföljd och sätt in dem i dubbelarket som fungerar som pärm.

Skriv uträkningar och mellansteg, endast ett svar är värt 0 poäng.

Var prydlig. Skriv alltid ett separat svar.

1. Lös ekvationen:

a)    \frac{5+2x}{4}-\frac{3x+2}{6}=\frac{11}{12}

b)    a-x=1-ax       för alla värden på parametern a.

Lösning:

a)

Räknarskärmen:

 Det här resultatet är intressant. Då uttrycket skrivs in, säger räknaren att

utsagan är sann (true). Det här betyder att oberoende vilket reellt x-värde

man matar in, ”stämmer likameds-tecknet”.

Svaret torde alltså vara att alla reella x duger.

Kan man bearbeta uttrycket?

Vi tar det ledvis termvis. Hela uttrycket multipliceras med 12, eftersom 4, 6 och 12 ingår som faktorer i 12:

De olika räknestegen kan alltså kontrolleras och skrivas över på provpappret!

b)

Svaret är alltså x = -1, men uttrycket är definirat enbart då a är olika -1! Orsak: Division med noll är inte definierad. Steget

x=\frac{1-a}{a-1}

fungerar alltså INTE å a = 1

Observera att räknaren INTE automatiskt lägger märke till detta, även om den kan påpeka att eventuella resultat möjligen är ofullständiga!

Svar: x=-1 då a\ne 1

2. Förenkla följande uttryck. Visa ALLA mellansteg.

a) {{({{x}^{n-1}})}^{n-1}}\cdot {{({{x}^{n}})}^{2-n}}

b) \sqrt[3]{a}\cdot \left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}}-\sqrt[3]{{{a}^{5}}} \right)

Vi har följande regler att följa:

{{({{x}^{a}})}^{b}}={{x}^{a\cdot b}} och {{x}^{c}}\cdot {{x}^{d}}={{x}^{c+d}}

Vi beräknar första och andra termernas exponenter:

Alltså:

{{({{x}^{n-1}})}^{n-1}}\cdot {{({{x}^{n}})}^{2-n}}={{x}^{{{(n-1)}^{2}}}}\cdot {{x}^{n(2-n)}}=

{{x}^{{{n}^{2}}-2n+1}}\cdot {{x}^{2n-{{n}^{2}}}}={{x}^{{{n}^{2}}-2n+1-(2n-{{n}^{2}})}}={{x}^{1}}=x

b)

Här visas stegen på räknarskärmen. Varje steg ger samma ”förenkling”. Stegen stämmer alltså.

3. Lös ekvationen

a) {{x}^{4}}=2401

b) {{(3x-7)}^{3}}+\frac{1}{8}=0

c) \sqrt{x}=-5

d) \sqrt[5]{x}=-5

e) {{x}^{\frac{2}{3}}}=17

I a)-fallet ger en direkt beräkning ett absolutbelopp som måste tolkas. Solve-kommandot ger de två lösningarna automatiskt. I b)-fallet ger en direkt inmatning en omberäknad form av uttrycket. Det kan löna sig att flytta bråktermen till högra ledet. Sedan kan man experimentera igenom de olika stegen.

I c)-fallet saknar vi lösning. Kvadratroten definieras som ett icke-negativt tal. I d)-fallet hittar vi en lösning och motiverar den i flykten.

Observera två svar (positivt och negativt) också i e)-fallet. Direkt beräkning och några steg med kontroll visas.

4. Beräkna värdet (eller förenkla så långt det går) utan räknare. Visa mellansteg.

a)         \sqrt{27}-\sqrt{12}

b)        \sqrt{27}-\sqrt{12}

c)        {{8}^{\frac{1}{3}}}+{{9}^{-\frac{3}{2}}}-{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-3}}-\frac{{{2}^{4}}+4}{{{3}^{3}}}

         

Här visas stegen i a)-fallet (med räknemaskin he he)

Några steg mot svaret visas. Observera att ett felresonemang lämnats kvar. Antagandet på raden med texten false var för enkelt! Absolutbeloppet – som matas in med abs() – visar att både tecknen + och – bör beaktas i det här skedet. Resten är en kontroll av stegen mot svar!

Här ser man svaret. Stegen kan kontrolleras på många olika sätt, t.ex. term för term, eller några termer i taget:

Många andra kontrollmöjligheter finns!

5. a) Havsvatten, som innehåller 4,0 viktprocent salt får avdunsta i en bassäng tills dess massa har minskat med 28 %. Vilken är salthalten då? Ge svaret med noggrannheten en tiondels procent.

b) Undersök om

a)

Ca 5,6 % alltså! Resonemangen ovan på Anteckningar-skärmen!

b)

Uppenbart stämmer likheten, men nu återstår att bevisa det!

Vi provar oss fram:

Saken är klar!

6.

a) En penningsumma som satts in på ett bankkonto växer med ränta på ränta, så att den efter 10 år blir 1,5 gånger så stor. Vilken är årsräntan i procent? Ge svaret med en noggrannhet av en hundradels procent.

b) Värdet av en diamant är direkt proportionellt mot kvadraten av diamantens massa. En fin diamant i fyra karat (=viktenhet för ädelstenar) kostar 300,00 euro.

  1. Hur mycket kostar en liknande diamant i 50 karat?

  2. Bilda ett uttryck för hur priset på en diamant beror på massan i karat.

  3. Vilken är proportionalitetskonstanten?

    a.

     

     

    Årliga räntan ser ut vara ca 4,1 %

    b.

    En diamant med vikten 50 karat, kostar alltså ca 47 000 euro.

    De övriga svaren: proportionalitetskonstanten är k=\frac{\text{75 euro}}{\text{4 kara}{{\text{t}}^{\text{2}}}} och uttrycket v=k\cdot {{c}^{2}}