Agnesis häxa

I det här inslaget ska vi undersöka en kurva med det dramatiska namnet Agnesis häxa. Den historiska bakgrunden kan man läsa om här. Vi ska börja med att konstruera grafen geometriskt. Sedan kommer det roliga. Kan man hitta på en funktion, vars avbildning denna graf är. Kunde vara en bra smått underhållande övningsuppgift för gymnasiematematiker/fysiker.

agnesi1Angesi2

Starta en grafskärm och konstruera en cirkel med medelpunkten på y-axeln, så att origo tangeras. Konstruera sedan en parallell till x-axeln som bilden visar. Dra ut en sträcka, eller ett segment som maskinen ”kallar” det, från origo till parallellen.

Agnesi3

Konstruera vidare parallellen till y-axeln i segmentets ändpunkt och parallellen till x-axeln i skärningspunkten mellan cirkeln och segmentet.

Om du nu flyttar segemntets änpunkt längs den linje den ligger på, genererar de två sistnämnda parallellernas skärningspunkt vår kurva.

Arbete så här långt lagras o Box-verktyget med namnet Agnesi.tnx.

Nu kan du göra följande: Spåra den nämnda skärningspunkten och se se på kurvan:

Agnesi4

Där är den, Agnesis häxa!

Försök hitta en funktion för den! Nedan visas några tips, men prova gärna själv (eller kapa filen för att roa elever, bekanta…).

Man kan också hitta en parametrisk framställning!

Några tips du kan följa finns nedan:

Agnesi5

Vi kan börja med att rita injen y=6 (cirkelns storlek bestämmer om vi väljer 6 eller inte). Nu skulle det gälla att ”böja linjen” med något matematiskt knep. Här följer några vanliga elevuppslag (detta är testat i fysiklaboratoriet):

Agnesi6

Nja!

Agnesi7

Börjat ta sig!

Agnesi8

 

Lite bättre! Men…

Agnesi9

 

Vi närmar oss. Här stoppas försöken! Jobba gärna vidare! Prova också om det går att jobba fram en parametrisk form

 

Annonser

Ett märkligt äldre läroboksexempel

Kollegan Edward Krogius har hittat ännu ett intressant problem att bita i. Det hittades i ett prov från 19.10.1945, kursen i KORT matematik, årskurs 2. Hm! Det lyder så här (översatt till svenska):

Vilken ekvation av andra graden har som rötter de inversa värdena av kuben på rötterna till ekvationen x^2-x+3=0?

Inte ett enkelt problem detta! Redan på ögonmått ser vi att den sistnämnda ekvationen saknar reella rötter!! Vi måste alltså operera med komplexa tal. I kort matematik! Ok. Vi kör:

EKC1

Här löstes ekvationen så att de komplexa nollställena (med kommandot czeros), eftersom det går att lagra nollställena i listform då! Dessutom beräknades inversa värdet av kuben på dessa rötter. Nu är vi klara att fortsätta.

EKC2

Svaret på sista raden ovan borde vara det sökta uttrycket. Vi kontrollerar.

EKC3

Svaret ser alltså ut att vara x^2+8x/27+11/27=0

Kan man klara sig utan komplexa tal? Möjligen. Ska ta mig en funderare. Återkommer kanske. Tycker mig minnas någonting som kallas Viete’s teorem. Om någon kan hjälpa, så går det bra att kommentera!

Bloggaren frågar sig ödmjukt vad sjutton en dylik uppgift har att göra i ett prov i kort matematik.

En rolig egenskap hos ett polynom av fjärde graden!

Det följande har bloggaren inte hittat på. Lärde mig saken av min rikssvenske kollega Bengt Åhlander.

Vi ska se på ett polynom av fjärde graden med fyra reella nollställen. Vi kan ta exemplet nedan.

P€_1

Sedan markerar vi inflexionspunkterna (andra derivatans nollställen). I dessa ”ändras grafens krökningsriktning”. Wikipeda gärna för mera information!

P€_2

P€_3

Nu drar vi en linje genom dessa inflexionspunkter och markerar de övriga skärningspunkterna mellan linjen och grafen:

P€_4

Sedan mäter vi avståndet mellan skärningspunkterna som bilden visar (det kan löna sig att sätta in segment mellan punkterna och mäta dessa!)

P€_5

Nu till det intressanta. Vi markerar segmentens längder med variabelnamn och beräknar förhållandet mellan längderna!

P€_6

Hoppsan! Det ser ut som om förhållandet är det gyllene snittet! (Behandlas i andra inlägg i denna blogg).

Är det här en universell egenskap?? Kan läsaren bevisa saken?

 

Gyllene snittet i en kurva av fjärde graden

Här är en rolig egenskap hos grafen av ett fjärdegradspolynom. Jag tackar kollegan Bengt Åhlander i Sverige för denna förträffliga vink.

innan vi sätter igång, vill jag uppmärksamma läsaren om talet  Φ (eller fi på svenska). Ett annat blogginlägg behandlar detta tal närmare. Talet är  nära förknippat med det gyllene snittet. Ett närmevärde för talet är Φ ≈ 1,61803

På de följande bilderna konstrueras ett polynomuttryck av fjärde graden. Sean söker vi grafens inflexionspunkter (där andra derivatan av uttrycket har sina nollställen). Sedan dras en linje genom inflexionspunkterna. Denna skär grafen i fyra punkter. Vi mäter längderna av dessa delar och beräkna förhållandet av deras längder. Detaljer förbigås. Resultatet är det viktiga:

Sträckorna som på bilden markerats med a och b, förhåller sig till varandra enligt gyllene snittet!

Experimentera gärna!

En rolig egenskap hos tredjegradsfunktionen

Följande lilla problem blev jag uppmärksammad på av kollegan Bengt Åhlander i Sverige. För en matematiklärare är det en fin provuppgift. För en studerande är det en bra förberedelseuppgift, då proven närmar sig.

Problem

Markera tre olika punkter A, B och C i denna ordningsföljd på x-axeln. Konstruera ett polynom av tredje graden, vars graf går genom punkterna. Konstruera tangenten till grafen av polynomet i mittpunkten mellan A och B. Var skär denna tangent x-axeln?

Vi experimenterar först en aning. Vi väljer tre punkter A, B och C, beräknar uttrycket för ett polynom genom dessa punkter, konstruerar medelnormalen till sträckan AB och konstruerar slutligen polynomgrafens tangent i skärningspunkten mellan denna medelnormal och själva grafen:

Punkterna som valdes råkar i vårt exempel ha x-koordinaterna -2, 3 och 5. Polynomets graf har ritats ut i ett koordinatsystem, som anpassats en aning. Vi markerar nu polynomgrafens nollställen:

Det nya operativsystemet 3.2 har förnyade menyer. Punkter och linjer hittar man via menu och geometri. sedan pekar man på x-axeln och grafen av polynomet. Skärningspunkterna markeras då automatiskt. Nästa steg är att markera mittpunktsnormalen till sträckan mellan x-koordianterna -2 och 3: (menu och geomteri igen)

Sedan söker vi skärningspunkten mellan normalen och grafen och konstruerar tangenten till grafen i denna punkt. Man måste då först konstruera en linje längs normalen (som tydligen inte är ett ”geometriskt element”).

Tangenten ritas ut med ”vektorutseende”. Du kan bli tvungen att dra ut den ena pilspetsen för att se var tangenten skär x-axeln. Tufft! Tangenten går genom punkten C!

Är detta en universell egenskap? Under vilka villkor  fungerar det hela? Prova!

Utmaning! Kan du bevisa att om det finns tre skärningspunkter, så ”träffas den tredje” enligt problemet ovan. Kan du bevisa det i det allmänna fallet, då punkternas x-koordinater är a ,b  och c. Kan du utnyttja CAS-teknik!