Grafisk integration av mätdata

En fråga har kommit in till bloggen. Jag blev ombedd att skriva ett program som integrerar ”mätpunkter”. Som ett exempel nämndes uppgift 11 i höstens (2013) studentskrivningar i fysik. Ska ta mig an utmaningen att se på uppgiften, men ett enda kort svar täcker knappast alla möjligheter här.

Problemet är att diskreta punkter inte är ett matematiskt funktionsuttryck. Därför kan de inte ”integreras” direkt. Vi måste göra en del förberedelser som dessutom kan variera från fall till fall. Ska därför inte skriva ett program, men nog komma med några tips.

Vi kan börja med ett exempel:

Anta att att en kondensator urladdas. Strömmen so funktion av tiden är:

I  (A):     1,96   1,58   1,29   1,03   0,83   0,67   0,54   0,43   0,36    0,28

t (s):       0,00   0,20   0,40   0,60   0,80   1,00   1,20   1,40  1,60    1,80

Vi matar in dessa på kalkyskärmen, undersöker dem på statistikskärmen och kollar om det finns en vettig matematiskt modell, som kan skrivas i funktionsform:

punktin1punktint2

punktint3

Nu råkade det vara så, att en matematisk modell som räknaren står till tjänst med, expontentiellt avtagande, passar synnerligen bra in på mätdata.

Ett litet tips: Ibland krånglar räknaren om nollor ingår i mätdata. Om man anger små mätvärden, mycket när noll,kan man få räknaren att fungera.

Laddningen Q = I * t  i kondensatorn kan nu beräknas genom att integrera:

punktint4

Det är inte sagt att det går att hitta en lämplig matematisk modell! Vad gör man då?

Man blir tvungen att förlita sig på numerisk matematik. Där hittar man ett antal metoder. Om vi på x-axeln har jämnt födelade data (samma intervall överallt) och gärna rätt så många mätpunkter, kan vi t.om. utveckla en egen, ganska grov version av ”rektangelmetoden”. Duger för hushållsbruk, när man vill ha en snabbkoll på ”arean under en tänkt kurva”. Sedan kan man förstås övergå i mera sofistikerade metoder, trapetsmetoden, Simpsons regel eller så.

Vi tar ett exempel till. Anta att vi mäter kraften som påverkar en liten boll då vi slår till den med en klubba.

F (N)   0,00   2.32   4.92   9.34   5.67   3,96    2.66   1,51   0.46    0,00

t (s)     0,00   0,01   0,02   0,03   0,04   0,05    0,06   0,07   0,08    0,09

Vi ser på data:

punktint5punktint6

Det kan gå att anpassa ett polynom till dessa data, men vi väljer en annan metod. Vi antar att varje kraftvärde definierar en rektangel med bredden lika med intervallen på tidsaxeln. Då är den grafiska integralen ca:

punktint7

Metoden fungerar sämre ju färre mätpunkter vi har. Man kunde försöka rita ut en mjuk profil genom punkterna och mata in flera punkter i statistiken.

När man har ett fungerande värde för ”integralen”, kan man beräkna bollens hastighet efter stöten.

Anta att bollend massa är 65 g och att den ligger i vila då vi stöter till den. Enligt impulsprincipen: Δp = I = 0,3084 Ns

punktint8

Bollen rör sig med ca 4,7 m/s

Annonser

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift *14

Anta att P(x)={{x}^{2}}+x-2.

a) Dela P(x) i faktorer av första graden   (2p)

b) Bestäm konstanterna A och B, så att \frac{1}{P(x)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}, för varje x\ge 2.    (2p)

c) Bestäm integralfunktionerna till funktionen \frac{1}{P(x)}, då x\ge 2.    (2p)

d) Beräkna den generaliserade integralen \int\limits_{2}^{\infty }{\frac{1}{P(x)}dx}.    (3p)

__________________________________________________________________________________

a) Här visas ett par möjligheter:

V13MAA14_1

b)

Här återges ett möjligt resonemang:

V13MAA14_2V13MAA14_3

Så fick vi alltså numeriska värden på A och B.

c)

Den korta versionen är förstås (observera att integrationskonstanten saknas!!!):

V13MAA14_4

Det här är antagligen för mycket ”genväg” för att garantera poäng. I stället ser vi på några möjliga delsteg:

V13MAA14_6

Observera att ovan har de olika delstegen skrivits ut av bloggaren – inte allts beräknats av räknaren! Man kan ändå kontrollera delsteg! T.ex:

V13MAA14_7

d)

Också nu kan vi ta en snabbkontroll först:

V13MAA14_8

Detaljer:

V13MAA14_10V13MAA14_11

Lyckades tydligen!

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 8

a)

Bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna y=12{{x}^{3}}-36x och y=-12{{x}^{2}}+36x.

b)

Mellan kurvorna finns två begränsade områden. Beräkna summan av dessa områdens areor.

_________________________________________________________________________

Vi börjar med en skiss och bestämmer skärningspunkterna grafiskt, för kontrollens skull:

V13LU8_1

Där ser vi a)-fallets svar.

Om vi vill ha en lösningsmetod, kan vi gå vidare på olika sätt. Vi kan t.ex. lösa ekvationssystemet:

V13LU8_2

Vi kan också lösa det hela stegvis. Här är ett förslag:

V13UL8_3V13U8L_4

b)

För att beräkna arean, definierar vi först (den positiva) skillnaden mellan funktionerna i de aktuella intervallen, varefter vi integrerar:

V13U8L9V13U8L_9

 

Svar: 253 areaenheter

SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 6

6.

Beräkna arean av det begränsade området mellan parabeln {{y}^{2}}=4x och linjen 4x-3y=4. Ange det exakta värdet och ett närmevärde med två decimaler.

Vi börjar med att bestämma skärningspunkterna mellan linjen och parabeln. Vi har

\left\{ \begin{array}{l}{{y}^{2}}=4x\\4x-3y=4\end{array} \right.

Vi substituerar den första ekvationen i den andra:

\begin{array}{l}{{y}^{2}}-3y=4\\{{y}^{2}}-3y-4=0\\y=\frac{3\pm \sqrt{{{(-3)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 5}{2}\end{array}

Vi får rötterna y = -1 och y = 4

Motsvarande x-koordinater: (Vi väljer linjens ekvation i formen x=\frac{3}{4}y+1)

y = -1:      x=\frac{3}{4}\cdot (-1)+1=\frac{1}{4}  ; Skärningspunkten: (1/4,-1)

y = 4:       x=\frac{3}{4}\cdot 4+1=4                     ; Skärningspunkten: (4,4)

                                                                                                                       1 p

Avbildning:

Linjens ekvation: y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}

Parabeln ekvation kan skrivas som x=\frac{1}{4}{{y}^{2}}

Värdetabeller kan ställas upp via dessa uttryck.                                    1 p

                                                                                             1 p

(Vi återkommer till hur bilden konstruerats)

Arean kan beräknas med hjälp av en bestämd integral. En enkel metod är då att skriva både linjens och parabelns ekvationer i formerna:

\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}y+1\\x=\frac{1}{4}{{y}^{2}}\end{array}

alltså:

\begin{array}{l}f(y)=\frac{3}{4}y+1\\g(y)=\frac{1}{4}{{y}^{2}}\end{array}

I intervallet -1 ≤ y ≤ 4 är f(y) ≥ g(y):                                                    1 p

Vi integrerar:

\begin{array}{l}A=\int\limits_{-1}^{4}{\left( f(y)-g(y) \right)dy}\\=\int\limits_{-1}^{4}{\left( \frac{3}{4}y+1-\frac{1}{4}{{y}^{2}} \right)dy}\end{array}

1 p

\begin{array}{l}=\underset{-1}{\overset{4}{\mathop{/}}}\,\left( \frac{3}{8}{{y}^{2}}+y-\frac{1}{12}{{y}^{3}} \right)\\=\left( \frac{3}{3}\cdot {{4}^{2}}+4-\frac{1}{12}\cdot {{4}^{3}} \right)-\left( \frac{3}{3}\cdot {{(-1)}^{2}}-1-\frac{1}{12}\cdot {{(-1)}^{3}} \right)\\=\frac{125}{4}\approx 5,21\end{array}

Svar: Arean är 125/4 eller ca 5,21 areaenheter stor.                              1 p

Kontrollmöjligheter:

Vi börjar med bilden. Operativsystemet bör vara uppdaterat till version 3.2 för att detta ska lyckas! Vi börjar med att undersöka en ny avbildningsmöjlighet på grafskärmen. Ett tryck på Menu, ger följande möjligheter:

När graferna är ritade, kan vi ta reda på skärningspunkterna (menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 3-Skärningspunkter):

Integrationsdelen av uppgiften måste vi gör ”icke-grafiskt”, t.ex. direkt på räknarskärmen:

 

 

Våra tidigare resultat stämmer alltså.