En gammal numerisk metod för beräkning av kvadratrötter

Följande metod tipsades bloggaren om av kollegan Anders Sörensen från Sverige.

Babylonierna kunde beräkna närmevärden för kvadratrötter med följande metod:

Anta att vi vill beräkna kvadratroten av 5. Det är uppenbart att roten ligger mellan 2 och 3 eftersom {{2}^{2}}=4 och {{3}^{2}}=9. Vi startar därför med en gissning på 2,5 eller 5/2 om vi föredrar bråk.

Om vi kvadrerar 5/2 får vi 25/4 eller 6,25, vilket betyder att vår gissning var för stor. Vi beräknar i stället 5 dividerat med 5/2, vilket ger 2 som kvadreras till 4 och är för litet. Nu resonerade man som så att om man tar medeltalet av den första gissningen {{x}_{1}} och 5/{{x}_{1}}, alltså \frac{{{x}_{1}}+5/{{x}_{1}}}{2}, borde man ha en förbättrad gissning. Sedan kör man från början. På en räknare är det enkelt att undersöka resonemanget med Ans-variablen:

bab1Bab2

Bab3

Observerar vad som hände. Först matar vi in 5/2 och trycker på Enter , vilket flyttar talet till Ans-variabeln. Sedan matar vi in uttrycket på rad 2! Nytt tryck på Enter uppdaterar Ans-variabeln. Sedan trycket man bara på Enter några gånger till, vilket leder till ett mastigt bråk, vars närmevärde ligger nära roten av 5.

Bab4

Om man vill jobba med närmevärden i stället, kan man göra ett par små knep. Den första gissningen kan matas in som närmevärdet 2,5. Då blir resten av talen också närmevärden. Om man råkar mata in först gissningen som bråk, kan man på andra raden mata in:

Bab5

Talet 1. på slutet (observera ”kommat”) förvandlar elegant bråk till decimaltal och närmevärden.

För att göra det hela lite mera spännande, ska vi se hur man grafiskt kunde följa med proceduren. Starta en grafskärm och definiera att vi ska jobba med Talföljder.

bab6bab7

Bab8

Det är uppenbart att metoden snabbt ger gissningar som konvergerar mot det rätta värdet. Prova gärna variera på startgissningen.

Det finns en annan spännande undersökningsmetod. Vi kan använda ett så kallat spindelnätsdiagram. Tryck på menu, väl Åtgärder och vidare Attribut. Peka sedan på grafen och ställ in enligt bilden:

Bab9 Bab10

Nu kan man dra den gröna punkten som visar ursprungsgissningen av och an längs x-axeln och se hur detta påverkar hur svaret uppnås.

Annonser