Grundläggande geometri – del 1

De följande bilderna visar hur man kan göra diverse geometrisk knep med CAS. Precis som antiken greker, använder vi enkla hjälpmedel. Linjal och passare borde räcka långt. Geometriska konstruktioner kan göras både på Graf-skärmen och på Geometri-skärmen. Båda har sina fördelar!

Vi börjar med att konstruera en sträcka (som kallas segment i CAS, konstigt nog). Sedan konstruerar vi mittpunktsnormalen till den. Det betyder ju automatiskt att vi hittar sträckans mittpunkt!

02-01-2017 Skärmbild001.jpg

Video om konstruktion av mittpunktsnormalen

Sedan ska vi halvera en vinkel.

02-01-2017 Skärmbild002.jpg

Skärmavbild 2017-01-02 kl. 21.18.25.png

Video om hur man konstruerar en bissektris, eller halverar vinkel

Så ska vi konstruera en triangel med sidorna 3, 4 och 5 längdenheter och mäta vinklarna i denna.

02-01-2017 Skärmbild003.jpg

Skärmavbild 2017-01-02 kl. 21.19.07.png

Video om konstruktioner av triangeln

 

Annonser

Ett ”get-problem”

Anta att två getter är kedjade vid varsitt diagonalt motsatt hörn i en kvadratisk inhägnad med sidlängden l. Den ena getens kedja har längden l, medan den andra har en kedja med längden l/2. Hur stor del av den kvadratisk inhägnaden kan båda getterna komma åt. Svara som funktion av l och som procent av arean.

Skärmavbild 2016-03-15 kl. 17.12.49

En fil med skedena nedan, kan laddas upp här.

 

22-03-2016 Skärmbild001.jpg

22-03-2016 Skärmbild002.jpg

22-03-2016 Skärmbild003.jpg

22-03-2016 Skärmbild004.jpg22-03-2016 Skärmbild005.jpg22-03-2016 Skärmbild006.jpg

 

Kättingen runt ekvatorn

För något år sedan löd en av uppgifterna i kort matematik ungefär så här (citerar fritt ur minnet): Anta att du spänner en kätting längs jordens ekvator. Sedan kapar du kättingen och fogar till en bit som är 1 m lång. Därpå höjs kättingen jämnt överallt runt ekvatorn. Ryms en katt under kättingen?

Kollegan Edward Krogius kom med ett kompletterande problem: Hur mycket längre ska kättingen göras för att kunna höjas 1 m?

_________________________________________________________________________________

Vi gör som fysiker har för vana i första approximationen – vi antar ett perfekt sfäriskt jordklot. Sedan konstruerar vi en cirkel kring ekvatorn, sådan att cirkelns medelpunkt sammanfaller med jordens.

kj_2kj_1

kj_3kj_4

Ca 16 cm alltså. En vanlig huskatt kan lätt krypa under kättingen!

Sedan det andra problemet:

kj_5

 

Knappa 6,3 m alltså!

Verkar det otroligt? Ok. Påvisa då felet i resonemanget!

 

Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 4

4.

Beräkna det exakta värdet för arean av den rätvinkliga triangeln ABC i figuren.

V13U4_1

______________________________________________________________________

Vi betecknar skärningspunkten mellan AB och höjden med D:

V13U4_2

 

Trianglarna ADC och DBC är likformiga eftersom vardera innehåller en rät vinkel och \measuredangle CAD={{90}^{\text{o}}}-\measuredangle ACD=\measuredangle BCD.

Av likformigheten följer, då höjden DC betecknas h:

V13U4_3

 

Svar: arean = 5\sqrt{21}

Det finns dessutom goda möjligheter till en geometrisk kontroll:

V13U4_4 V13U4_5

 

 

Trianglar med inskrivna och omskrivna cirklar

En liten övning i konsten att använda Geometri-skärmen:

(Den färdiga filen finns bifogad i BOX-verktyget)

Vi börjar med att konstruera en triangel:

Sedan konstruerar via mittpunktsnormalerna till  till sidorna:

Kosntruera en cirkel med medelpunkten i mittpunktsnormalernas skärningspunkt. Dra ut cirkeln till ett av triangelhörnen. Observationer?? Prova också ändra triangelns form genom att flytta på hörnpunkterna.

Sedan konstruerar vi en ny triangel. Den här gången konstruerar vi medianen från hörnen. Medianerna skär varandra i triangelns TYNGDPUNKT.

Försök inskriva en cirkel i triangeln eller få triangeln inskriven i en cirkel. Observationer?

Sedan ett tredje tredje försök. Konstruera en triangel och dra ut höjdern från sidorna till motsatta hörn. Prova inskriv omskriva en cirkel nu.

Kan du n inskriva/omskriva en cirkel?

Slutligen konstruerar vi en triangel och bissektriserna till hörnen. Kan man nu lyckas inskriva/omskriva en cirkel?

Sedan återstår bara att förklara varför detta fungerar som det gör och kanske bevisa resultaten!