Landning – ett flyplans bana under inflygningen

Vi antar att ett flygplan är på väg mot Helsingfors. Flyghöjden är 12 km och hastigheten ca 1000 km/h. Strax före Åbo inleds landningen. Horisontella avståndet från Helsingfors är då ca 200 km. Anta att planet efter att ha flugit ytterligare 100 km har sjunkit till höjden 6 km.  Beskriv landningens flygbana som en polynomfunktion, om vi antar att planet inte behöver cirkla runt landningsbanan, utan gå in för en direkt landning i färdriktningen (om så väl vore). Anta också en möjligast mjuk landning!

Anta vidare att markhastigheten (den horisontella hastigheten) minskar linjärt från det att landningen inleds till 250 km/h då planet tar mark. Hur länge räcker landningen?

Vilken är banriktningens horisontalvinkel, när flygplanet sjunker snabbast?

_______________________________________________________________________________

Vi börjar med att markera de tre punkter vi känner till:

flyget1

Vilken polynomfunktion ska vi välja. Om funktionen gradtal är ett, är banan en linje. Ingen mjuklandning då. Om gradtalet är 2, är banan en parabel. Man kunde få en mjuk landning, men en horisontal inflygning vid Åbo är då omöjlig. Gradtal 3?? Intressant. Vi fastnar för det alternativet.

Det finns ett problem. För att med säkerhet fastställa en tredjegradsfunktion, borde vi ha 4 punkter! Vi har 3! Vi har ändå information som räddar läget. Då inflygningen inleds flyger planet horisontellt. Ska vi ha en mjuk landning, kan vi anta samma sak igen (smått optimistiskt). I dessa punkter har banfunktionen derivatavärdet noll!

Vi börjar nu bearbeta problemet på Anteckningar-skärmen. Observera att då en funktion definieras eller en variabel ges ett värde, används :=, medan en ekvationslösning sker med vanligt =.

flyget2flyget3

flyget4flyget5

flyget6

Där satt den delen av uppgiften! Andra resonemang kan också användas!

Hur länge räcker landningen?

En fysiker skulle välja modellenx=\frac{v+{{v}_{0}}}{2}\cdot t om vi antar likformig acceleration (inbromsning).

flyget7

Vilken är då horisontalvinkeln vid snabbaste sänkningen?

flyget8flyget9

vilket knappast är en överraskning! Nu blev det i alla fall motiverat! Andra derivatans nollställe kallas för övrigt en inflexionspunkt. Grafens krökning tenderar där att byta riktning – i detta fall kommer sänkningens takt att övergå från ökande till minskande.

Vilken lutning har grafen av funktionen i denna punkt?

flyget10

En banvinkel på ca -5 grader mot horisontalplanet alltså.

Man kan spinna vidare på problemet. Hur lång är t.ex. de verkliga banan i modellen? Sträckan 200 km räknas ju horisontalt! Kunde man beräkna landningstiden om flygets verkliga hastighet (inte bara den horisontala ”markhastigheten”) avtar linjärt? Klarar man det sistnämnda analytiskt? Lycka till!

Fjäderpendeln – en djupare analys

fjäder

Anta att vi har en fjäderpendel, där pendelkulan har massan m och fjädern en fjäderkonstant k.  Vi drar ut fjädern. Den enda kraft som antas gälla då, är fjäderna ”tillbakadragande” kraft som ges av Hookes lag F=-k\cdot A enligt bilden. Vi släpper fjädern. Vad händer?

(För att lura bort tyngdkraften kan vi t.ex. tänka oss att fjädern glider på ett friktionslöst horisontellt plan).

Det här enkla problemet leder oss in på en differentialekvation! Kraften på fjädern ges av Hookes lag, medan den allmänna ormen för en kraft enligt Newtons andra lag, kan skrivas som F=m\cdot a. Vi skriver alltså:

m\cdot a=-k\cdot x          ekvation 1

där maximala värdet för x är det på bilden angivna A. Detta är en differentialekvation! Varför?

Eftersom: v=\frac{dx}{dt},\ \ a=\frac{dv}{dt} måste vi ha: a=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}

Acceleration är alltså andra tidsderivatan av läget! Detta gör att ekvation 1 kan skrivas:

\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=-\frac{k}{m}\cdot x

vilket är en intressant differentialekvation. Det går att lösa den direkt med CAS, men vi ska ta oss en funderare först! (Detta är ju fysik!! Det är tillåtet att tänka!)

Fjäder1fjäder2

fjäder3fjäder4

fjäder5fjäder6

 

 

Grafisk kontroll (vi väljer ett par parametrar, t.ex. k =15 N/m, m =0,45 kg och A = 7 cm, i beräkningarna ovan antog vi att A = 1, vilket inte påverkar slutresultatet nämnvärt):

fjäder7fjäder8

 

Det ”svänger” som sig bör. Gör gärna ett laboratorieförsök med en fjäder och jämför!

 

 

 

En undersökning av radioaktivt sönderfall

Här presentera en större helhet. Vi börjar med att gå igenom teorin för radioaktivt sönderfall och härleder med Anteckningar ett par formler. Sedan undersöker vi med Grafskärmen hur väl vi lyckats med härledningen. Ett praktiskt exempel presenteras. I följande steg undersöker vi hur man kan ha nytta av att lösa differentialekvationer grafiskt. Slutligen ser vi på hur en modenuklid sönderfaller i dotternuklider. Då används möjligheten att grafiskt utnyttja talföljder. Samman lagt 7 dokumentflikar! Dokumentet finns lagrat i Box-verktyget. Filnamn: Radioaktivitet.tns, arkivet fysik/Modern_fysik.

Radioak1

Radioak2

Radioak3

Det var teorin! Nu tar vi ett praktiskt exempel:

radioak4Radioak5

Verkar bra så här långt!

Sedan till ett experiment med att lösa differentialekvationen i problemet:

radioak6radioak7

radioak8radioak9

radioak10

Ser bekant ut!

Slutligen ska vi ta oss en titt på hur det går med de nuklider som sönderfaller:

radioak11

Vi använder oss av alternativet Talföljder på Grafskärmen:

radioak12radioak13

radioak14radioak15

Här ser man hur modernukliden avtar, för att övergå till dotternuklid 1, som sedan sönderfaller vidare.

Hoppas bloggarens logik håller! Meddela gärna om fel upptäcks!

Det bör nämnas att det finns en möjlighet att lösa differentialekvationer också med kommandot deSolve! Det kan ändå vara nödan värt att fundera igenom hur man uppnår lösningen och experimentera en aning!

radiak16

Det finns andra möjligheter att undersöka radioaktivitet. Här var ett förslag!

Kättingen runt ekvatorn

För något år sedan löd en av uppgifterna i kort matematik ungefär så här (citerar fritt ur minnet): Anta att du spänner en kätting längs jordens ekvator. Sedan kapar du kättingen och fogar till en bit som är 1 m lång. Därpå höjs kättingen jämnt överallt runt ekvatorn. Ryms en katt under kättingen?

Kollegan Edward Krogius kom med ett kompletterande problem: Hur mycket längre ska kättingen göras för att kunna höjas 1 m?

_________________________________________________________________________________

Vi gör som fysiker har för vana i första approximationen – vi antar ett perfekt sfäriskt jordklot. Sedan konstruerar vi en cirkel kring ekvatorn, sådan att cirkelns medelpunkt sammanfaller med jordens.

kj_2kj_1

kj_3kj_4

Ca 16 cm alltså. En vanlig huskatt kan lätt krypa under kättingen!

Sedan det andra problemet:

kj_5

 

Knappa 6,3 m alltså!

Verkar det otroligt? Ok. Påvisa då felet i resonemanget!

 

En lampa tänds

Med hjälp av en ljusgivare, kan olika ljuskällor undersökas och mycket intressant fås ut. I detta experiment undersöks en enkel kökslampa. Det är fråga om en glödlampa med effekten 40 W. Frågor man kunde ställa är: Hur snabbt tänds lampan, blinkar den och i så fall med vilken frekvens? Vi börjar med själva experimentet. En Labcrable och en TInspire-räknare användes, kopplade till en vanlig ljusgivare.

Mätresultaten finns lagrade i Box-verktyget. Arkivet är Fysik/Ellära och fiulen heter Lampantänds.tns.

Sedan till resultatet:

Lampan1Lampan2

Mätningen skedde med hjälp av triggning och ”förlagring” av data för att tydligt visa ljusets nollnivå. Antalet mätningar var 1000 / s. Data tyder på att en glödlampa av denna typ tänds på ca en tiondels sekund. Här kunde det vara intressant att jämföra med andra typer av lampor som lågenergilampor, halogenlamor, lysrör diodlampor…

Lampan blinkar tydligt. Om man så önskar kan man via bilden beräkna hur mycket ljusstyrkan varierar. Också här skulle en jämförelse med andra typer av lampor vara på sin plats. Detta som ett tips på ett övningarabete i en skola t.ex.

Sedan till frågan med vilken frekvens lampan blinkar. Bloggaren rekommenderar att data kopieras till en kalkylark-skärm. Det är i regel lättare att jobba med en sådan:

Lampan3

Vi kan undersöka data i intervallet 0,10 s – 0,15 s:

Lampan4

Vi ska försöka anpassa detta till en sinusfunktion. Vi gör arbetet manuellt, eftersom det finns data som inte passar in i dataserien. Metoden är alltså gammal hederlig Trial and error! Stegen ses nedan: (I praktiken krävs en hel del testande)

Lampan6  Lampan8

Lampan10

Det finns två saker att observera här:

1.

Detta ger oss en fin möjlighet att undersöka parametararna i en allmän sinusfunktion  av typ f(t)=a+b\cdot \sin (c\cdot t+d)

2.

Lampans frekvens? Om vi frånser ”nivåkonstanten” a, amplituden b och fasförskjutningen d, är den fysikaliska ekvationen av typen g(t)=\sin (2\pi f\cdot t)

Det ser ut som om frekvensen är f =100 Hz! Borde den inte vara 50 Hz ”som växelströmmen”! Nej! Under en svängningsperiod har vi en maxström i ena riktningen och sedan en motsatt riktad lika stor ström. Lampan lyser starkast oberoende av strömmens riktning och alltså 2 ggr per period!

Roligt det här med fysik. Inte sant?

En bil accelererar

I det här exemplet använder vi data insamlade med en datalogger, Veriners LabQuest 2. Denna ställdes in på mätning av acceleration, varefter bloggaren accelererade sin italienska sportbil (Fiat Punto) in på Ringväg 1 i Helsingfors. Data överfördes sedan till programmet LoggerPro och kopierades vidare över till TInspire.

Data finns  i Box-verktyget på denna blogg. Filnamn: ”Bilekör.tns”

Vi har alltså tillgång till accelerationsdata.Vi ska se hur vi kan får fram bilens hastighet som funktion av tiden och vidare körsträckan som funktion av tiden. Mätningarna pågick under en minut, med 10 mätningar per sekund.

Teori: Hastigheten kan beräknas genom att integrera accelerationen och vidare kan  sträckan räknas genom att integrera hastigheten. Problemet är att räknaren integrerar FUNKTIONER, medan vi nu bara har tillgång till data. Vi måste undersöka problemet lite mera kreativt än vanligen!

Vi börjar med att se hur data ser ut:

Accdata1Accdata2

Ser inte vidare informativt ut! En hastighetsgraf skulle kanske avslöja mera om bilens rörelser. Eftersom vi inte kan använda räknarens integrationskommandon, måste vi resonera en aning för att komma vidare. Det ligger 0,1 sekund mellan mätvärdena. Vi får ett hyggligt närmevärde på hastigheten som en ”integralarea” om varje accelerationsvärde multipliceras med 0,1 och om vi sedan lyckas beräkna hur arean ökar för varje nytt mätvärde. Motsvarande resonemang ger färdsträckan. Nedan ser vi en möjlighet:

Accdata3

Kommandot cumsum är behändigt i fall som detta. Vi undersöker dessa resultat grafiskt:

Accdata4Accdata5

På hastighetsgrafen ser man tydligt hur bloggaren växlar. Vid ca 25 sekunder tränger sig en labil (en rysk sådan) framför bilen och en viss inbromsning är av nöden. Sedan är det bara att köra på igen! Sträckan är ca 900 m under denna minut.

Inte konstigare än så. Om data kan komma till nytta, är det bara att ladda ner filen.

Studentexamen i FYSIK våren 2013 – uppgift 2

I ett laboratoriearbete hälls aceton i ett måttglas som står på en våg. I tabellen nedan ges mängden aceton i måttglaset och vågens utslag (uppmätt massa).

V(cm^3)   25       66     98     136    160     194     218    244

m(g)          205    230   256   286    305    332     350    371

a) Rita en graf som ritar massan som funktion av acetonets volym. (3 p)

b) Bestäm acetonets densitet med hjälp av grafen. (2 p)

c) Hur stor är det tomma måttglasets massa? (1 p)

___________________________________________________________________________________

a)

En prydlig bild bör ritas, gärna på mm-papper. Då grafen anpassas, kan följande beräkningar vara bra att utgå från:

Vi startar med en kalkyarks-skärm och matar in:

STF3_1

Man kan sedan fortsätta på två olika sätt.

I.

Välj en Data/Statistikskärm. Först matas axlarnas dataserier in (volym på x– och massa på y-axeln). Slutligen trycker vi på meny-tangenten och väljer 4: Analyser och 6: Regression. Välj den linjära modellen. Resultat:

STF3_2STF3_3

Anteckningar på pappret bör göras, men i resultatet ovan ses svaren på b)- och c)-fallen!

Densiteten är ca 0,770 g/cm^3 och den tomma kolven väger ca 182 g.

II.

Ett annat alternativ är att utföra beräkningarna direkt på kalkylarksskärmen (med menu-tangentens hjälp). Då kan data lagras så att regressionslinjen skrivs ut på en Graf-skärm. Det ger mera analysmöjligheter, men i detta fall räcker det ovan visade gott!

Ett litet problem, inspirerat av Jules Verne

I en av sina romaner, Resan till månen, beskriver författaren hur ett gäng entusiaster bygger en stor kanon. Loppet går rakt ned i marken och är däromkring 270 m långt. Man har kritiserat detta för att vara för kort. OK. Vi förlänger röret en aning. Vi gör det 1 km långt. Sedan avfyras en stor bemannad missil med hjälp av krut och slungas iväg mot månen. Bloggaren som är fysiker, vet att hastigheten vi mynningen bör vara stor för att detta ska lyckas – flera kilometer per sekund. Vi kan börja med en beräkning på basis av jordens avstånd från månen, ca 380 000 kilometer. Vi använder här samma resonemang som i ett annan annat inlägg ”Flykthastigheten från en planet”.

Vi gör en ytterst förenklad beräkning. Vilken hastighet måste raketen lämna jordytan med för att uppnå ”månens höjd”? Vi frånser luftmotstånd och det faktum att månen har en egen dragningskraft.

JV_1

JV_2

Inte så långt ifrån flykthastigheten från jorden alltså. Månen ligger långt borta. Om vi beaktar månens dragningskraft, minskar hastigheten, men inte markant. (Material för ett annat inlägg kanske?)

Anta att röret är 1,0 km långt. Vilken blir då accelerationen? Vi kan utnyttja

x=\frac{{{v}^{2}}-v_{0}^{2}}{2a}

där vi antar att {{v}_{0}}=0. Vi löser ut a:

JV_3

Accelerationen är alltså enorm! Över 61000 m/s^2. Över 600 gånger accelerationen för fritt fall vid jordytan. Man skulle känna sig en aning ”beklämd” i kanonkulan.

Hur skulle det vara om vi förlänger kanonen? Bloggaren tänker sig att vi borrar på till jordens medelpunkt. Petitesser som värmen därnere, friktion mot kanonröret och annat, låter vi vännerna vid tekniska högskolan fundera på! Bloggaren tänker sig vidare en jämn acceleration hela vägen upp.

JV_4

OK. Det här kunde man leva med! För kort kanonrör Jules!

Poisson-fördelningen

I skolkurserna får man kanske en felaktig bild av sannolikhetsfördelningar. Man behandlar normalfördelningen, vars fördelningsfunktion är vackert symmetrisk. I verkliga världen är läget ofta ett helt annat. Vi tar här en liten titt på Poisson-fördelningen. Ingen större teorigenomgång! Material finns t.ex. på Wikipedia.

Anta att en kiosk har i medeltal 25 kunder per timme. Vilken är sannolikheten för att det till kiosken kommer åtminstone 30 kunder per timme (betyder 30 eller flera)?

Problemet ovan kan lämpa sig för analys via Poisson-fördelning. Vi har EN parameter, medeltalet 25 kunder per timme, som samtidigt är väntevärdet. Vi måste vidare anta att händelserna (kunderna anländer till kiosken) är oberoende av varandra. Fördelningen är vidare diskret. Antalet kunder per tidsenhet är ett heltal.

Vi säger att slumpvariabeln X har en Poisson-fördelning med parametern λ (större än noll) om värdemängden är k = 0,1,2,3,…. och

P(X=k)={{e}^{-\lambda }}\frac{{{\lambda }^{k}}}{k!}

Räknaren har färdiga rutiner för detta! Vi går via menu-tangenten på räknarskärmen

Här räknades sannolikheten för exakt 30 kunder. Kommandot poissPdf(λ,k) anger alltså sannolikheten för de enskilda fallen i fördelningen (p för punktsannolikhet??).

En kanske intressantare situation är den kumulativa fördelningen. Vi testar:

 

Nu har vi sannolikheten för högst 29 kunder per timme. Komplementet är åtminstone 30 kunder per timme.  vi räknar vidare:

 

Ca 18% alltså.

Hur ser fördelningen ut grafiskt?

Fördelningen ser nästan symmetrisk ut. Man kunde tro att det här är en normalfördelning. Orsaken är att 25 kunder per timme ligger långt ifrån minsta antalet möjliga, 0 kunder. En övre gräns finns teoretiskt sett inte. Hur går det om vi minskar antalet kunder per timme? Vi väljer talvärdet 5 i stället för 25.

 

Nu ser det annorlunda ut!

Den observanta läsaren inser säkert att det här är en viktig fördelning inom fysik och teknik. Radioaktivt sönderfall, serviceintervall av apparater och annat kan undersökas via Poissonfördelningen. Borde ingå i gymnasiekurserna!!!

Realprovet i Fysik h12 – uppgift 11

En forskningsapparatur, med vilken undersöker den fotoelektriska effekten, har en fotocell vars katod belyses belyses med enfärgat ljus. Spänningen mellan elektroderna kan regleras. I tabellen ges ljusets våglängder och motsvarande spänningar Uo, vid vilka strömmen genom fotocellen upphör. Bestäm med tillhjälp av resultaten Plancks konstant och katodmetallens utträdesarbete. Vilken metall består katoden av?

λ (nm)      Uo (V)

611          0,081

588         0,141

525         0,433

505         0,528

472         0,672

__________________________________________________________________________

Uppgiften lämpar sig bra för arbete på kalkylarks-skärmen:

Här ser vi två listor med namnen våglängd och spänning. Hur kan man skriva skandinaviska tecken med räknare? Mantrycker på a och sedan flaggtangenten (en eller flera gånger) till höger på räknaren! Det är inte nödvändigt att använda skandinaviska tecken, men möjligheten finns!

Vi kunde ha matat in våglängderna direkt i nanometer, men man kan också göra det vid sidan om”:

Fotonenergi beräknas primärt som E = ,  där h är Plancks konstant och ν frekvensen. Vi behöver alltså frekvenser i stället för våglängder för att kunna fortsätta. Vi Eftersom c = λν, kan vi räkna ut en ny datalista:

Vi behöver ännu en energilista som visar elektronernas kinetiska energi i fotocellen. Vi kan välja att jobba i elektronvolt eller Joule. Nu lämpar sig elektronvolt bra. Talvärdena är i så fall desamma som för spänningarna pga. definitionen på enheten elektronvolt.

Nu är vi klara att göra en analys av läget, Vi väljer en statistikskärm, matar in data och gör en linjär anpassning:

Bilden till höger bör noggrannt överföras på rutigt papper och tolkas. På vänstra bilden ser man ändå resultatet för kontrollens skull. Eftersom E = Wo, kan vi avläsa

4,23\cdot {{10}^{-15}}\ \text{eVs}

{{W}_{0}}=2,00\text{ eV}

Enligt MAOLs tabeller ligger cesium med utträdesarbetet 1,94 eV nära till hands.

 

OBSERVERA att lösningen bör dokumenteras ytterst noggrant. Här visas bara den tekniska sidan av saken!