Kraftkomponenter – ett belastningsproblem.

Vi antar att en massa på 85 kg, belastar vajrar enligt bilden. Bestäm spännkrafterna i vajrarna.

vajer1

___________________________________________________________________________

Detta är ett statiskt problem, vilket innebär att krafternas summa är noll. Vi behandlar i den följande lösningen, krafterna som tvådimensionella vektorer i ett x,y-koorinatsystem, där x-axeln är horisontell och y-axeln vertikal.

vajern2korvaj1korvaj2

Det var det. Återstår bara att avrunda en aning.

Annonser

Omkörningssträckan

Hur lång sträcka behöver du på dig för att köra om en bil?

Många gymnasieelever har inte en aning! Här ska vi ställa upp en enkel modell för att beräkna ett svar på frågan. Vi behöver känna till vår egen omkörningshastighet, den andra bilens hastighet, bilarnas längder och ett säkerhetsavstånd. Vi antar att omkörningen påbörjas på säkerhetsavståndet från bilen framför och att vi sedan kör en sträcka som är summan av fordonens längder, för att slutligen köra in framför den passerade bilen på säkerhetsavståndet från denna. Vi passerar den andra bilen enligt den Galileiska principen för relativ rörelse. Den relativa hastigheten är skillnaden mellan fordonens hastigheter.

Beräkningarna kan enkelt ställas upp på en Anteckningar-skärm:

omk

Bilister som kör för nära varandra!

Bloggaren har noterat att bilister ibland tenderar att köra väldigt nära varandra i trafiken. Vanligen är det unga och medelålders män, som anser detta vara en korrekt metod att ta sig fram på vägen, men också damer har under de senare åren anslutit sig till skaran

Den som behärskar en aning fysik, vet att det här är en onödig form av idioti. Människan har en typisk reaktionstid på ca en sekund. Under den sekunden, minskar avståndet mellan framförvarande nödbromsande bil snabbt. Dessutom stannar ju inte den efterfölajnde bilen på stället när den börjar bromsa.

Bloggaren har här försökt göra en modell för kollisionsrisken. Filen finns i Box-verktyget i arkivet Fysik/Mekanik. Filnamnet är avstånd_på_vägen.tns. Det är fritt fram att ladda ner den och använda eller modifiera.

För att få fram bilarnas körsträckor, har inbromsningsfunktionen deriverats och själva funktionen anammats i sådan form, att bilen bromsar in och förblir på det ställe den stannat på. Om bilarnas inbromsningsfunktioner korsar varandra, sker en kollision. Observera tekniken med att plocka ut ett numeriskt värde för derivatans nollställe.

Om fel eller förbättringar kan påpekas, är det fritt fram att göra så!

avst1 avst2

avst3avst4

 

avst5

 

Sedan till grafiken:

avst6

 

Kollision alltså!

Genom att mata in olika parametrar i början, kan man experimentera lite!

Om man kör med 100 km/h, är en 10 meters distans mellan bilarna alltså på tok för lite!

 

 

Landning – ett flyplans bana under inflygningen

Vi antar att ett flygplan är på väg mot Helsingfors. Flyghöjden är 12 km och hastigheten ca 1000 km/h. Strax före Åbo inleds landningen. Horisontella avståndet från Helsingfors är då ca 200 km. Anta att planet efter att ha flugit ytterligare 100 km har sjunkit till höjden 6 km.  Beskriv landningens flygbana som en polynomfunktion, om vi antar att planet inte behöver cirkla runt landningsbanan, utan gå in för en direkt landning i färdriktningen (om så väl vore). Anta också en möjligast mjuk landning!

Anta vidare att markhastigheten (den horisontella hastigheten) minskar linjärt från det att landningen inleds till 250 km/h då planet tar mark. Hur länge räcker landningen?

Vilken är banriktningens horisontalvinkel, när flygplanet sjunker snabbast?

_______________________________________________________________________________

Vi börjar med att markera de tre punkter vi känner till:

flyget1

Vilken polynomfunktion ska vi välja. Om funktionen gradtal är ett, är banan en linje. Ingen mjuklandning då. Om gradtalet är 2, är banan en parabel. Man kunde få en mjuk landning, men en horisontal inflygning vid Åbo är då omöjlig. Gradtal 3?? Intressant. Vi fastnar för det alternativet.

Det finns ett problem. För att med säkerhet fastställa en tredjegradsfunktion, borde vi ha 4 punkter! Vi har 3! Vi har ändå information som räddar läget. Då inflygningen inleds flyger planet horisontellt. Ska vi ha en mjuk landning, kan vi anta samma sak igen (smått optimistiskt). I dessa punkter har banfunktionen derivatavärdet noll!

Vi börjar nu bearbeta problemet på Anteckningar-skärmen. Observera att då en funktion definieras eller en variabel ges ett värde, används :=, medan en ekvationslösning sker med vanligt =.

flyget2flyget3

flyget4flyget5

flyget6

Där satt den delen av uppgiften! Andra resonemang kan också användas!

Hur länge räcker landningen?

En fysiker skulle välja modellenx=\frac{v+{{v}_{0}}}{2}\cdot t om vi antar likformig acceleration (inbromsning).

flyget7

Vilken är då horisontalvinkeln vid snabbaste sänkningen?

flyget8flyget9

vilket knappast är en överraskning! Nu blev det i alla fall motiverat! Andra derivatans nollställe kallas för övrigt en inflexionspunkt. Grafens krökning tenderar där att byta riktning – i detta fall kommer sänkningens takt att övergå från ökande till minskande.

Vilken lutning har grafen av funktionen i denna punkt?

flyget10

En banvinkel på ca -5 grader mot horisontalplanet alltså.

Man kan spinna vidare på problemet. Hur lång är t.ex. de verkliga banan i modellen? Sträckan 200 km räknas ju horisontalt! Kunde man beräkna landningstiden om flygets verkliga hastighet (inte bara den horisontala ”markhastigheten”) avtar linjärt? Klarar man det sistnämnda analytiskt? Lycka till!

Fjäderpendeln – en djupare analys

fjäder

Anta att vi har en fjäderpendel, där pendelkulan har massan m och fjädern en fjäderkonstant k.  Vi drar ut fjädern. Den enda kraft som antas gälla då, är fjäderna ”tillbakadragande” kraft som ges av Hookes lag F=-k\cdot A enligt bilden. Vi släpper fjädern. Vad händer?

(För att lura bort tyngdkraften kan vi t.ex. tänka oss att fjädern glider på ett friktionslöst horisontellt plan).

Det här enkla problemet leder oss in på en differentialekvation! Kraften på fjädern ges av Hookes lag, medan den allmänna ormen för en kraft enligt Newtons andra lag, kan skrivas som F=m\cdot a. Vi skriver alltså:

m\cdot a=-k\cdot x          ekvation 1

där maximala värdet för x är det på bilden angivna A. Detta är en differentialekvation! Varför?

Eftersom: v=\frac{dx}{dt},\ \ a=\frac{dv}{dt} måste vi ha: a=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}

Acceleration är alltså andra tidsderivatan av läget! Detta gör att ekvation 1 kan skrivas:

\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=-\frac{k}{m}\cdot x

vilket är en intressant differentialekvation. Det går att lösa den direkt med CAS, men vi ska ta oss en funderare först! (Detta är ju fysik!! Det är tillåtet att tänka!)

Fjäder1fjäder2

fjäder3fjäder4

fjäder5fjäder6

 

 

Grafisk kontroll (vi väljer ett par parametrar, t.ex. k =15 N/m, m =0,45 kg och A = 7 cm, i beräkningarna ovan antog vi att A = 1, vilket inte påverkar slutresultatet nämnvärt):

fjäder7fjäder8

 

Det ”svänger” som sig bör. Gör gärna ett laboratorieförsök med en fjäder och jämför!

 

 

 

En undersökning av radioaktivt sönderfall

Här presentera en större helhet. Vi börjar med att gå igenom teorin för radioaktivt sönderfall och härleder med Anteckningar ett par formler. Sedan undersöker vi med Grafskärmen hur väl vi lyckats med härledningen. Ett praktiskt exempel presenteras. I följande steg undersöker vi hur man kan ha nytta av att lösa differentialekvationer grafiskt. Slutligen ser vi på hur en modenuklid sönderfaller i dotternuklider. Då används möjligheten att grafiskt utnyttja talföljder. Samman lagt 7 dokumentflikar! Dokumentet finns lagrat i Box-verktyget. Filnamn: Radioaktivitet.tns, arkivet fysik/Modern_fysik.

Radioak1

Radioak2

Radioak3

Det var teorin! Nu tar vi ett praktiskt exempel:

radioak4Radioak5

Verkar bra så här långt!

Sedan till ett experiment med att lösa differentialekvationen i problemet:

radioak6radioak7

radioak8radioak9

radioak10

Ser bekant ut!

Slutligen ska vi ta oss en titt på hur det går med de nuklider som sönderfaller:

radioak11

Vi använder oss av alternativet Talföljder på Grafskärmen:

radioak12radioak13

radioak14radioak15

Här ser man hur modernukliden avtar, för att övergå till dotternuklid 1, som sedan sönderfaller vidare.

Hoppas bloggarens logik håller! Meddela gärna om fel upptäcks!

Det bör nämnas att det finns en möjlighet att lösa differentialekvationer också med kommandot deSolve! Det kan ändå vara nödan värt att fundera igenom hur man uppnår lösningen och experimentera en aning!

radiak16

Det finns andra möjligheter att undersöka radioaktivitet. Här var ett förslag!

Kättingen runt ekvatorn

För något år sedan löd en av uppgifterna i kort matematik ungefär så här (citerar fritt ur minnet): Anta att du spänner en kätting längs jordens ekvator. Sedan kapar du kättingen och fogar till en bit som är 1 m lång. Därpå höjs kättingen jämnt överallt runt ekvatorn. Ryms en katt under kättingen?

Kollegan Edward Krogius kom med ett kompletterande problem: Hur mycket längre ska kättingen göras för att kunna höjas 1 m?

_________________________________________________________________________________

Vi gör som fysiker har för vana i första approximationen – vi antar ett perfekt sfäriskt jordklot. Sedan konstruerar vi en cirkel kring ekvatorn, sådan att cirkelns medelpunkt sammanfaller med jordens.

kj_2kj_1

kj_3kj_4

Ca 16 cm alltså. En vanlig huskatt kan lätt krypa under kättingen!

Sedan det andra problemet:

kj_5

 

Knappa 6,3 m alltså!

Verkar det otroligt? Ok. Påvisa då felet i resonemanget!