Definitionsmängd, värdemängd, minsta och största värde

Vi tar några olika exempel här. Vi ska undersöka en funktion med rätt så primitiva hjälpmedel. Gränsvärden och derivator tas upp i andra inlägg. Vi ska också se på en farlig FELTOLKNINGSMÖJLIGHET!

Vi börjar med att undersöka funktionen

f(x)={{x}^{2}}+2x-3

Bestäm definitionsmängd, minsta och största värde samt slutligen värdemängden.

Här har vi definierat funktionen på räknarskärmen och sedan ritat den på grafskärmen. På räknarskärmen hittar man defintionsmängden med kommandot domain. Funtionen är alltså definierad för alla reella tal x.

Funktionen saknar maximumvärde. Den kan få ”hur stora värden som helst”. Minimum har den däremot.

I punkten x = -1 antar funktionen sitt minsta värde f(x) = -4

Vi har alltså hittat värdemängden. Funktionen antar värden mellan -1 och ∞.

Sedan ska vi ställa frågan på ett lite annat sätt:

Analysera samma funktion om vi begränsar definitionsmängden: x\in \left[ -3,2 \right[

Funktionen har samma minimum som ovan, men hur är det med ett maximum? Den har ett lokalt maximum i punkten x = -3, men i hela definitionsområdet SAKNAR DEN ETT STÖRSTA VÄRDE! Hur ser det ut om vi kontrollerar detta grafiskt?

Observera att en grafisk sökning HITTAR ETT ICKE-EXISTERANDE MAXIMUM! Det här beror på att grafiken fungerar med närmevärden! Det finns ett sätt att kontrollera ytterligare dock:

På räknarskärmen visar det sig att f(2) INTE är definierat! Då kan det inte heller vara ett största värde!

Se upp för denna fälla!

Annonser

Problem med definitionsmängden

Kollegan Peter Åman har uppmärksammat mig om ett lite konstigt resultat:

En snabb kontroll med en grafisk framställning, visar att ”solver”-resultatet är skumt!

Problemet är att definitionsmängder ser ut att vara besvärliga för systemplanerarna, då man arbetar med jobbiga begrepp, som olikheter och rotuttryck! Om definitionsmängden ANGES, ser det bättre ut:

Tackar för frågan Peter!