Fjäderpendeln – en djupare analys

fjäder

Anta att vi har en fjäderpendel, där pendelkulan har massan m och fjädern en fjäderkonstant k.  Vi drar ut fjädern. Den enda kraft som antas gälla då, är fjäderna ”tillbakadragande” kraft som ges av Hookes lag F=-k\cdot A enligt bilden. Vi släpper fjädern. Vad händer?

(För att lura bort tyngdkraften kan vi t.ex. tänka oss att fjädern glider på ett friktionslöst horisontellt plan).

Det här enkla problemet leder oss in på en differentialekvation! Kraften på fjädern ges av Hookes lag, medan den allmänna ormen för en kraft enligt Newtons andra lag, kan skrivas som F=m\cdot a. Vi skriver alltså:

m\cdot a=-k\cdot x          ekvation 1

där maximala värdet för x är det på bilden angivna A. Detta är en differentialekvation! Varför?

Eftersom: v=\frac{dx}{dt},\ \ a=\frac{dv}{dt} måste vi ha: a=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}

Acceleration är alltså andra tidsderivatan av läget! Detta gör att ekvation 1 kan skrivas:

\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=-\frac{k}{m}\cdot x

vilket är en intressant differentialekvation. Det går att lösa den direkt med CAS, men vi ska ta oss en funderare först! (Detta är ju fysik!! Det är tillåtet att tänka!)

Fjäder1fjäder2

fjäder3fjäder4

fjäder5fjäder6

 

 

Grafisk kontroll (vi väljer ett par parametrar, t.ex. k =15 N/m, m =0,45 kg och A = 7 cm, i beräkningarna ovan antog vi att A = 1, vilket inte påverkar slutresultatet nämnvärt):

fjäder7fjäder8

 

Det ”svänger” som sig bör. Gör gärna ett laboratorieförsök med en fjäder och jämför!

 

 

 

Annonser

En undersökning av radioaktivt sönderfall

Här presentera en större helhet. Vi börjar med att gå igenom teorin för radioaktivt sönderfall och härleder med Anteckningar ett par formler. Sedan undersöker vi med Grafskärmen hur väl vi lyckats med härledningen. Ett praktiskt exempel presenteras. I följande steg undersöker vi hur man kan ha nytta av att lösa differentialekvationer grafiskt. Slutligen ser vi på hur en modenuklid sönderfaller i dotternuklider. Då används möjligheten att grafiskt utnyttja talföljder. Samman lagt 7 dokumentflikar! Dokumentet finns lagrat i Box-verktyget. Filnamn: Radioaktivitet.tns, arkivet fysik/Modern_fysik.

Radioak1

Radioak2

Radioak3

Det var teorin! Nu tar vi ett praktiskt exempel:

radioak4Radioak5

Verkar bra så här långt!

Sedan till ett experiment med att lösa differentialekvationen i problemet:

radioak6radioak7

radioak8radioak9

radioak10

Ser bekant ut!

Slutligen ska vi ta oss en titt på hur det går med de nuklider som sönderfaller:

radioak11

Vi använder oss av alternativet Talföljder på Grafskärmen:

radioak12radioak13

radioak14radioak15

Här ser man hur modernukliden avtar, för att övergå till dotternuklid 1, som sedan sönderfaller vidare.

Hoppas bloggarens logik håller! Meddela gärna om fel upptäcks!

Det bör nämnas att det finns en möjlighet att lösa differentialekvationer också med kommandot deSolve! Det kan ändå vara nödan värt att fundera igenom hur man uppnår lösningen och experimentera en aning!

radiak16

Det finns andra möjligheter att undersöka radioaktivitet. Här var ett förslag!