En smårolig derivatauppgift med kontroll

Exemplet lyder så här:

En rektangel har ett hörnet i origo och två av sina sidor placerade på de positiva koordinataxlarna. Det diagonalt motsatta hörnet ligger på linjen 2x+y=100. Vilken är den största arean rektangeln kan få?

Låter som en derivatauppgift! Vi gör en snabb genomgång av den tekniska lösningen:

Vi löser först ut y ur linjens ekvation: y = -2x + 100 (där 0<x<50).

Sedan utvecklar vi ett uttryck för arean av rektangeln: A(x) = x*(-2x+100) = -2x^2 + 100x

Derivering: A´(x) = -4x + 100 med nollstället x = 25. Derivatans nollställe motsvarar ett maximum för funktionen A(x) (en parabel med toppen uppåt).

Största arean borde vara A(25) = -2*25^2+100*25 = 1250 areaenheter?

Saken kan kontrolleras på olika sätt. Väljer ett alternativ väl lämpat för demonstration här:

En fil med namnet RektangelDer.tns med material finns i Box-verktyget!

Mellan de olika arbetsmomenten, måste man hela vägen komma ihåg att trycka på Esc, när man klarat av ett delsteg!

Linjen har ritats ut och en godtycklig punkt placerats på den. Följande steg är att konstruera paralella linjer till koordinataxlarna genom punkten: (Menu, 8-Geometri, 4-Konstruktion, 2-Parallell)

Markera sedan skärningspunkterna mellan dessa paralleller och koordinataxlarna. Markera också koordinataxlarnas skärningspunkt, origo. (Menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 3-Skärningspunkter):

Nu har vi rektangelns hörn. Man kan rita in en rektangel på bilden, men det kan vara knepigt att ”fästa hörnen” på ett vettigt sätt. Vi väljer en annan metod. Placera in två segment, från origo till parallellernas skärningspunkter med koordinataxlarna (Menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 5-Segment). Mät sedan längden på segmenten (Menu, 8-Geometri, 3-Mätning, 1-Längd).

Vi har nu rektangelns bredd och höjd!

Nu följer det egentliga knepet. Vi lagrar de två mätresultaten med variabelnamnen h och b. Klicka på et av dem så att den gråmarkeras. Tryck sedan på tangenten var

Välj namnet h för höjden. Upprepa med bredden.

Placera sedan i en text med utseendet h*b någonstan på skärmen (Menu, 1-Åtgärder, 7-text):

Gråmarkera texten och völj beräkna (Menu, 1-Åtgärder, 9-Beräkna). Klicka på texten h*b och markera b och h.

Man kan grabba tag i punkten på linjen och flytta den av och an. Då ser man hur rektangelns area variera!

Saken kan också demonstreras på ett ytterligare sätt. Vi öppnar ett kalkylark i vårt dokument. Vi väljer rubriker på tre kolumner, t.ex.:

Gå nu till kommandoraden (den grå) i första kolumnen. Tryck på Menu och välj:

Välj namn enligt variabeln på grafskärmen:

Upprepa för höjden, men vänta med arean.

Lagra den beräknade arean t.ex. med namnet area. Det sker på samma sätt som b och lagrades tidigare.

Återvänd till kalkylarket och plocka in arean värde i de tredje kolumnen.

Gå nu tilbaka till grafen, grabba tag i koordinathörnet på linjen och för den av och an längs linjen ett antal gånger. Det som händer är att datapunkter automatiskt överförs till kalkylarket!

Nu ska vi avbilda detta. Öppna i samma dokument en statistikskärm:

Nu är vi nästan framme vid målet. Gå ner till texten ”Klicka för att lägga till variabel”. Placera bas på x-axeln och arean på y-axeln. Sedan får vi:

Vackert så!

En besvärlig derivatauppgift

En kollega uppmärksammade mig på följande uppgift:

Derivera

Inte en uppgift för grundkursen i derivering precis! Kan vara bra att kontrollera med räknaren alltså. Problemet är vad som händer om man deriverar ”direkt”: Vi provar:

Knappast det svar en lärare skulle förvänta sig! Korrekt, men ur ”en mänsklig synvinkel” något överbearbetat. Hur kunde man få fram ett svar som ser ”prydligare ut”?

Vi experimenterar en aning:

Vad fick vi fram nu? Väsentligen en deriveringsregel! För derivatan av ett tal upphöjt i en funktion! Svaret ser inte så konstigt ut. Vi borde klara av att fylla i de olika termerna manuellt. Vi kan börja med att derivera f(x), bara för kontrollens skull:

Sedan provar vi fylla i för hand:

Vår sökta derivata borde vara uttrycket som markerats ovan. Räknaren ”förenklar” resultatet om man trycker på enter, men vi har en kontrollmöjlighet!

Ser bra ut alltså!

Den här uppgiften är ett bra exempel på mjukvarans begränsningar. Man får inte alltid ut det prydliga svar man tänkt sig. I det här fallet krävs en del bakgrundsarbete på gott och ont.

 

 

 

 

 

MAA7 Kursprov uppgift 9

I en rak cirkulär kon, ska en rak cirkulär cylinder inskrivas så, att cylinderns symmetriaxel sammanfaller med konens symmetriaxel. Cylinderns ena basyta ligger på konens basyta, medan periferin (omkretsen) av cylinderns andra basyta ligger på konens mantelyta. Konens höjd är 10 längdenheter och basytans radie är r. Bestäm cylinderns höjd, så  att dess volym blir så stor som möjligt. (Ledtråd: rita bilder och tänk på likformiga trianglar).

Vi inleder med att öppna en geometri-skärm och ritar en sidoprojektion av situationen: (alla kommandon finns bakom menu-tangenten!)

För att få en RAK cirkulär kon, rutas först ett segment. Sedan markeras mittpunktsnormalen till segmentet och konens sidor dras ut.  Sedan konstrueras en parallell till bassegmentet och paraleller med mitppunktsnormalen. Slutligen markeras nya segment så att cylinderns sidoprofil visas. Läget är nu, före och efter det att onödiga elements dolts:

Vi kallar nu höjden i cylindern för h och cylinderns radie rc. Då är höjden i den lilla topptriangeln 10-h.  Vi kan ställa upp följande förhållande grundat på trianglars likformighet:

Den sista raden visar en möjlighet att få fram derivatan nollställen. Om h = 10  har vi ett minimum (volymen är = 0). Om h = 10/3 har vi ett maximum. Definitionsmängden är 0 < h < 10.

Svar: h = 10/3 ger maximal volym.

Återstår bara att anteckna idéerna prydligt på provpappret!

 

MAA7 Kursprov uppgift 8

Bestäm tangenten till y={{x}^{3}} i punkten (2,8). I vilken punkt skär tangenten y-axeln? Bestäm arean av den triangel som begränsas av y-axeln, tangenten och linjen y = 8.

Vi börjar med att derivera, för att få fram tangentens riktningskoefficient.

 

OK. Tangenten har riktningskoefficienten k = 12. Vidare känner vi till en punkt (8,12) på tangenten. Vi kan då beräkna tangentens ekvation med enpunktsformeln, vilket visas ovan till höger. Vi ser att y-axeln skär i punkten -16.

Nu kan det vara lämpligt att rita en bild:

 

På vänstra bilden har punkten (2,8) markerats. Sedan har tangenten till punkte konstruerats och dess ekvation plockats fram. Slutligen har linjen y = 8 ritats ut. Samtliga skärningspunker av intresse har markerats och deras koordinater skrivits ut. Kommandon för allt detta finns bakom menu-tangenten!

Triangeln som efterfrågas har höjden 24 längdenheter, basen 2 l.e. och därför arean 24 kvadratenheter. Vi kan kontrollera saken på vår grafskärm. Vi konstruerar en triangel mellan lämpliga skärnimngspunkter och mäter dessa area. Alla verktyg finns bakom menu-tangenten. PROVA!

 

 

 

MAA7 Kursprov uppgift 6

Bestäm f’(2), då f(x)=\frac{1}{x-3}

a) med hjälp av derivatans definition (3p)

b) grafiskt (1,5 p)

c) Jämför svaren i de två fallen och fundera på tillförlitligheten i dem (1,5 p)

 

a)

Vi väljer att beräkna gränsvärdet för differenskvoten \frac{f(x)-f(2)}{x-2}. Observera metoden. Vi ”räknar själv” och kontrollerar resultatens tillförlitlighet! Det här gör det lättare att föra över anteckningar på provpappret!

Svar: f’(2) =-1

b) löses med paper och penna

c) ”Uppskattningsderivering” lyckas sämre! På bilden nedan ses situationen sådan den borde se ut.

 

 

MAA7 Kursprov uppgift 5

Bestäm extremvärden och värdemängd, då f(x):\left[ -1,4 \right]\to \mathbb{R}f(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}

Vi definierar och deriverar (på Anteckningar-skärmen):

Vi har alltså eventuella extremvärden i punkterna x =-1, x = 0 och x=4

Ett teckenschema bör ritas på uppgiftspappret. Vi kontrollerar tecken (även utanför definitionsmängden, vi begränsar senare):

Vi har alltså lokala minima för f(-1) och f(4) och ett lokalt maximum i f(0). Vi beräknar värdet för dessa:

Värdemängden är alltså -128 ≤ f(x) ≤ 0 för den givna definitionsmängden. Grafisk kontroll:

MAA7 Kursprov uppgift 4

a)

I vilka intervall är funktionen f(x)=\frac{1-{{x}^{2}}}{1+x} växande?

b)

Bestäm den punkt på parabeln y={{x}^{2}}+2x-1 för vilken summan av x- och y-koordinaterna är den minsta möjliga.

a)

Vi deriverar (med kontroll):

Ser ut att stämma! Slutsats: Funktionen är avtagande för alla x olika -1. Svar på frågan: Aldrig

Grafisk kontroll:

b)

Nu söker vi alltså en punkt sådan att x+y ska minimeras. Vi omskriver lite och definierar en funktion:

Eftersom grafen av f1(x) är en parabel som öppnas uppåt, ger derivatans nollställe ett minimum. Punkten har alltså koordinaterna: (x,y) = (-3/2,-13/4)

Grafisk kontroll:

 

MAA7 Kursprov uppgift 3

Här ges uppgiften på räknarskärmen:

a)

Vi börjar med att undersöka lite:

Om vi undersöker definitionsmängden, ser vi att att det ursprungliga uttrycket inte är definierat för x = 1. Då återstår att försöka förenklar uttrycket. En möjlighet visas här. En annan möjlighet är att försöka sig på polynomdivision. Ska försöka undersöka det i andra inlägg.

Svaret visas på andra bildens sista rad.

b)

Det skulle vara ekalt att låt räknaren derivera direkt, men det ger inte många poäng. Vi utreder lite:

Här fick vi fram deriveringsregeln för kvoten mellan två funktioner (formeln finns givetvis i MAOLs tabeller – lite roligt ska vi ändå ha!)

Här visades några möjligheter att kontrollera stegen! Svaret framgår också. Sedan den andra funktionen:

Saken är bevisad!

Derivatans definition som gränsvärde för en differenskvot

Vi antar att en funktion f(x) är definerad i ett intervall  \left] {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right[ och att {{x}_{0}}\in \left] {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right[.

Derivatan af funktionen f(x) i punkten {{x}_{0}} definieras som

\frac{df(x)}{dx}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

alternativt

\frac{df(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}{h}

Här refereras till läroboken i matematik för ytterligare detaljer. Observera också att derivatan kan betecknas på andra sätt än ovan, t.ex. f´(x) .

Vi tar ett exempel och börjar med anteckningar-skärmen:

Sedan fortsätter vi med räknarskärmen för jämförelsens skull: