En belastningsuppgift – med derivering

På bilden ser man en balk med längden 10 m. Den är fäst vid en vägg och ledad kring punkten A, som alltså bär men inte förhindrar vridning. Balken hålls i vinkelrätt läge mot väggen av en vajer som också är 10 m lång. Bestäm x så att vajern belastas så lite som möjligt.

08-02-2015 Skärmbild003

Vi ska alltså minimera kraften T. Vi balanserar tyngdens (mg) och spännkraftens (T) kraftmoment.

08-02-2015 Skärmbild00408-02-2015 Skärmbild005

08-02-2015 Skärmbild208-02-2015 Skärmbild3

08-02-2015 Skärmbild5

Minsta belastningen hittar vi alltså vid ca 5,8 m.

Ett annat intressant resultat ser man i den grafiska tolkningen. Vajern belastas väldigt kraftigt om x ligger när 0 eller 10, vilket knappast är överraskande (varför det?). Däremot ger måttliga avvikelser från 5,8 m inte så mycket förstorade belastningar!

Annonser

SE Lång matematik våren 2014 – uppgift 2

U2

________________________________________________________________

Den här uppgiften klarar man gott utan teknik om man vet vad man gör, men det hindrar inte oss från att experimentera en aning. Som en demonstration av hur man undersöker funktioner och derivator, om inte annat!

Den första funktionen f(x) ser ut att vara en parabel som öppnas nedåt. T.ex. följande beskriver situationen:

MaAV14U2_1

Den andra funktionen g(x) tolkas som ett polynom av tredje graden. Vi experimenterar lite:

MaAV14U2_2MaAV14U2_3

 

Tredje funktionen h(x) är linjär. Experiment:

MaAV14U2_4

Saken är klar!

 

 

Bilister som kör för nära varandra!

Bloggaren har noterat att bilister ibland tenderar att köra väldigt nära varandra i trafiken. Vanligen är det unga och medelålders män, som anser detta vara en korrekt metod att ta sig fram på vägen, men också damer har under de senare åren anslutit sig till skaran

Den som behärskar en aning fysik, vet att det här är en onödig form av idioti. Människan har en typisk reaktionstid på ca en sekund. Under den sekunden, minskar avståndet mellan framförvarande nödbromsande bil snabbt. Dessutom stannar ju inte den efterfölajnde bilen på stället när den börjar bromsa.

Bloggaren har här försökt göra en modell för kollisionsrisken. Filen finns i Box-verktyget i arkivet Fysik/Mekanik. Filnamnet är avstånd_på_vägen.tns. Det är fritt fram att ladda ner den och använda eller modifiera.

För att få fram bilarnas körsträckor, har inbromsningsfunktionen deriverats och själva funktionen anammats i sådan form, att bilen bromsar in och förblir på det ställe den stannat på. Om bilarnas inbromsningsfunktioner korsar varandra, sker en kollision. Observera tekniken med att plocka ut ett numeriskt värde för derivatans nollställe.

Om fel eller förbättringar kan påpekas, är det fritt fram att göra så!

avst1 avst2

avst3avst4

 

avst5

 

Sedan till grafiken:

avst6

 

Kollision alltså!

Genom att mata in olika parametrar i början, kan man experimentera lite!

Om man kör med 100 km/h, är en 10 meters distans mellan bilarna alltså på tok för lite!

 

 

Landning – ett flyplans bana under inflygningen

Vi antar att ett flygplan är på väg mot Helsingfors. Flyghöjden är 12 km och hastigheten ca 1000 km/h. Strax före Åbo inleds landningen. Horisontella avståndet från Helsingfors är då ca 200 km. Anta att planet efter att ha flugit ytterligare 100 km har sjunkit till höjden 6 km.  Beskriv landningens flygbana som en polynomfunktion, om vi antar att planet inte behöver cirkla runt landningsbanan, utan gå in för en direkt landning i färdriktningen (om så väl vore). Anta också en möjligast mjuk landning!

Anta vidare att markhastigheten (den horisontella hastigheten) minskar linjärt från det att landningen inleds till 250 km/h då planet tar mark. Hur länge räcker landningen?

Vilken är banriktningens horisontalvinkel, när flygplanet sjunker snabbast?

_______________________________________________________________________________

Vi börjar med att markera de tre punkter vi känner till:

flyget1

Vilken polynomfunktion ska vi välja. Om funktionen gradtal är ett, är banan en linje. Ingen mjuklandning då. Om gradtalet är 2, är banan en parabel. Man kunde få en mjuk landning, men en horisontal inflygning vid Åbo är då omöjlig. Gradtal 3?? Intressant. Vi fastnar för det alternativet.

Det finns ett problem. För att med säkerhet fastställa en tredjegradsfunktion, borde vi ha 4 punkter! Vi har 3! Vi har ändå information som räddar läget. Då inflygningen inleds flyger planet horisontellt. Ska vi ha en mjuk landning, kan vi anta samma sak igen (smått optimistiskt). I dessa punkter har banfunktionen derivatavärdet noll!

Vi börjar nu bearbeta problemet på Anteckningar-skärmen. Observera att då en funktion definieras eller en variabel ges ett värde, används :=, medan en ekvationslösning sker med vanligt =.

flyget2flyget3

flyget4flyget5

flyget6

Där satt den delen av uppgiften! Andra resonemang kan också användas!

Hur länge räcker landningen?

En fysiker skulle välja modellenx=\frac{v+{{v}_{0}}}{2}\cdot t om vi antar likformig acceleration (inbromsning).

flyget7

Vilken är då horisontalvinkeln vid snabbaste sänkningen?

flyget8flyget9

vilket knappast är en överraskning! Nu blev det i alla fall motiverat! Andra derivatans nollställe kallas för övrigt en inflexionspunkt. Grafens krökning tenderar där att byta riktning – i detta fall kommer sänkningens takt att övergå från ökande till minskande.

Vilken lutning har grafen av funktionen i denna punkt?

flyget10

En banvinkel på ca -5 grader mot horisontalplanet alltså.

Man kan spinna vidare på problemet. Hur lång är t.ex. de verkliga banan i modellen? Sträckan 200 km räknas ju horisontalt! Kunde man beräkna landningstiden om flygets verkliga hastighet (inte bara den horisontala ”markhastigheten”) avtar linjärt? Klarar man det sistnämnda analytiskt? Lycka till!

Fjäderpendeln – en djupare analys

fjäder

Anta att vi har en fjäderpendel, där pendelkulan har massan m och fjädern en fjäderkonstant k.  Vi drar ut fjädern. Den enda kraft som antas gälla då, är fjäderna ”tillbakadragande” kraft som ges av Hookes lag F=-k\cdot A enligt bilden. Vi släpper fjädern. Vad händer?

(För att lura bort tyngdkraften kan vi t.ex. tänka oss att fjädern glider på ett friktionslöst horisontellt plan).

Det här enkla problemet leder oss in på en differentialekvation! Kraften på fjädern ges av Hookes lag, medan den allmänna ormen för en kraft enligt Newtons andra lag, kan skrivas som F=m\cdot a. Vi skriver alltså:

m\cdot a=-k\cdot x          ekvation 1

där maximala värdet för x är det på bilden angivna A. Detta är en differentialekvation! Varför?

Eftersom: v=\frac{dx}{dt},\ \ a=\frac{dv}{dt} måste vi ha: a=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}

Acceleration är alltså andra tidsderivatan av läget! Detta gör att ekvation 1 kan skrivas:

\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=-\frac{k}{m}\cdot x

vilket är en intressant differentialekvation. Det går att lösa den direkt med CAS, men vi ska ta oss en funderare först! (Detta är ju fysik!! Det är tillåtet att tänka!)

Fjäder1fjäder2

fjäder3fjäder4

fjäder5fjäder6

 

 

Grafisk kontroll (vi väljer ett par parametrar, t.ex. k =15 N/m, m =0,45 kg och A = 7 cm, i beräkningarna ovan antog vi att A = 1, vilket inte påverkar slutresultatet nämnvärt):

fjäder7fjäder8

 

Det ”svänger” som sig bör. Gör gärna ett laboratorieförsök med en fjäder och jämför!

 

 

 

Ett par kollegers exempel. Tangenten till kurvan 1/x och en besvärlig integral.

Den här gången ska ett par kollegers förslag till uppgifter presenteras. Den första gäller tangenten till kurva 1/x. Jag vill minnas att jag bloggat om fallet tidigare, men Anders Sörensen från Sverige har gjort en prydlig lösning, där både algebran och geometriverktygen utnyttjas vackert! Vi börjar med en skärmkapning:

AS1

Filen finns lagrad i Box-verktyget. Arkivet heter Matematisk underhållning och filnamnet är ”tangent till kurvan 1genomx.tns”.

Precis som Anders påpekar, kan man lösa uppgiften utan att derivera. Där finns kanske material för en övningsuppgift!

(Det finns en lösning för den som söker! Box-verktyget. Arkiv. Matematisk underhållning. Filnamn: tangent_1genom_x_allmänna_fallet.tns)

Det andra exemplet jag idag vill plocka fram är betydligt knepigare. Bloggaren ska länka till en medbloggares bidrag. Kollegen Edward Krogius har behandlat ett par exempel med kägelsnitt.

Här är det första inlägget.

Det andra inlägget är inte sämre. Här presenteras en integral av tyngre kaliber.

Kommenterar inte inläggen i sig desto mera. De talat för sig själv. Det intressanta med dessa ganska halsbrytande beräkningar är att de visar den POTENTIAL Cas-tekniken innebär. Man kan ta sig an problem som skulle vara ytterst jobbiga med bara papper och penna + enkla räknare. Man måste kunna matematiken för att hänga med i resonemangen! Intressant!!

Hitta den gemensamma tangenten till två parabler som inte skär varandra

Bestäm den gemensamma tangenten till parablerna f(x)={{x}^{2}}+8x+12 och g(x)=-{{x}^{2}}+8x-16.

______________________________________________________________________________

Den här uppgiften kan säkert lösas utan CAS, men beräkningarna är knepiga. Vi ska se vad vi kan göra. Vi börjar med att avbilda parablerna:

pgt_1

 

Sedan kör vi resonemanget. Här används datorskärmen för utrymmets skull. Vi använder vidare Anteckningar-skärmen!

ptg_2

 

ptg_3

 

Ser ju bra ut! Återstår ekvationen:

ptg_4

 

Den andra tangenten får bli en övningsuppgift! (Eller provuppgift, om någon lärare så önskar!)