SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 6

6.

Beräkna arean av det begränsade området mellan parabeln {{y}^{2}}=4x och linjen 4x-3y=4. Ange det exakta värdet och ett närmevärde med två decimaler.

Vi börjar med att bestämma skärningspunkterna mellan linjen och parabeln. Vi har

\left\{ \begin{array}{l}{{y}^{2}}=4x\\4x-3y=4\end{array} \right.

Vi substituerar den första ekvationen i den andra:

\begin{array}{l}{{y}^{2}}-3y=4\\{{y}^{2}}-3y-4=0\\y=\frac{3\pm \sqrt{{{(-3)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 5}{2}\end{array}

Vi får rötterna y = -1 och y = 4

Motsvarande x-koordinater: (Vi väljer linjens ekvation i formen x=\frac{3}{4}y+1)

y = -1:      x=\frac{3}{4}\cdot (-1)+1=\frac{1}{4}  ; Skärningspunkten: (1/4,-1)

y = 4:       x=\frac{3}{4}\cdot 4+1=4                     ; Skärningspunkten: (4,4)

                                                                                                                       1 p

Avbildning:

Linjens ekvation: y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}

Parabeln ekvation kan skrivas som x=\frac{1}{4}{{y}^{2}}

Värdetabeller kan ställas upp via dessa uttryck.                                    1 p

                                                                                             1 p

(Vi återkommer till hur bilden konstruerats)

Arean kan beräknas med hjälp av en bestämd integral. En enkel metod är då att skriva både linjens och parabelns ekvationer i formerna:

\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}y+1\\x=\frac{1}{4}{{y}^{2}}\end{array}

alltså:

\begin{array}{l}f(y)=\frac{3}{4}y+1\\g(y)=\frac{1}{4}{{y}^{2}}\end{array}

I intervallet -1 ≤ y ≤ 4 är f(y) ≥ g(y):                                                    1 p

Vi integrerar:

\begin{array}{l}A=\int\limits_{-1}^{4}{\left( f(y)-g(y) \right)dy}\\=\int\limits_{-1}^{4}{\left( \frac{3}{4}y+1-\frac{1}{4}{{y}^{2}} \right)dy}\end{array}

1 p

\begin{array}{l}=\underset{-1}{\overset{4}{\mathop{/}}}\,\left( \frac{3}{8}{{y}^{2}}+y-\frac{1}{12}{{y}^{3}} \right)\\=\left( \frac{3}{3}\cdot {{4}^{2}}+4-\frac{1}{12}\cdot {{4}^{3}} \right)-\left( \frac{3}{3}\cdot {{(-1)}^{2}}-1-\frac{1}{12}\cdot {{(-1)}^{3}} \right)\\=\frac{125}{4}\approx 5,21\end{array}

Svar: Arean är 125/4 eller ca 5,21 areaenheter stor.                              1 p

Kontrollmöjligheter:

Vi börjar med bilden. Operativsystemet bör vara uppdaterat till version 3.2 för att detta ska lyckas! Vi börjar med att undersöka en ny avbildningsmöjlighet på grafskärmen. Ett tryck på Menu, ger följande möjligheter:

När graferna är ritade, kan vi ta reda på skärningspunkterna (menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 3-Skärningspunkter):

Integrationsdelen av uppgiften måste vi gör ”icke-grafiskt”, t.ex. direkt på räknarskärmen:

 

 

Våra tidigare resultat stämmer alltså.

 

 

Annonser