Några grafiska knep och konster

Grafisk analys av funktioner och deras egenskaper, ger kanske inte alltid ”fulla poäng” i ett matematikprov, men som kontrollmöjlighet är den grafiska analysen värdefull. Vi matar in ett par funktioner och experimenterar.

23-10-2015 Skärmbild001

Nu ska vi undersöka Analysverktyget:

Skärmen54

Med kommandot 1: Nollställe hittar du som namnet säger nollställen för en funktion. Om du väljer detta alternativ, ska du först klicka på den funktion du vill ha nollstället för, t.ex. parabeln. SEdan markerar du ett sökintervall, inom vilket du vill hitta nollstället. På bilden ses ett av parabelns nollställen. 23-10-2015 Skärmbild002

Kommandona Minimum och Maximum, fungerar i princip helt lika.

4: Skärningspunkt, söker fram skärningspunkten mellan två grafer. Också här måste du markera sökområdet och möjligen klicka på de grafer du jobbar med, om många finns på skärmen. Bilden visar en av skärningspunkterna mellan linjen och parabeln.

23-10-2015 Skärmbild003

Kommandot Inflexion ska kommenteras senare i ett annat sammanhang.

Kommandot 6: dy/dx ger den numeriska derivatan i en punkt på en graf. På bilden ses en av punkterna på parabeln. Begreppet derivata gås igenom under åk 2, men nämnas kan att derivatan kan ses som ett mått på ”förändring”. Om en funktion avtar är derivatan negativ, om den växer är derivatan noll. Vad är den i toppen av en parabel?? Experimentera!

23-10-2015 Skärmbild004

Kommandot 7: Integral är intressant, bland annat eftersom det kan utnyttjas redan under grundkursen i fysik. Inom matematiken dyker integralen upp senare. Ett sätt att uppfatta begreppet integral, är att med den kan beräkna arean mellan x-axeln och en graf. (Man kan gör mycket annat också). Grafisk integration sker så, att man väljer två punkter på x-axeln, och integrerar ”mellan dem”. På bilden visas ett exempel. Arean har ett negativt värde, eftersom den ligger under x-axeln.

23-10-2015 Skärmbild005

Man kan också med kommandot 8: Avgränsat område, beräkna arean mellan grafer. På bilden visas arean av det område de två graferna på bilden avgränsar tillsammans.

23-10-2015 Skärmbild007

Det kan vara skäl att experimentera med dessa kommandon och se till att man sanbbt kan kontrollera matematiska/fysikaliska problemlösningar med dem.

Annonser

SE Lång matematik hösten 2012 – uppgift 6

6.

Beräkna arean av det begränsade området mellan parabeln {{y}^{2}}=4x och linjen 4x-3y=4. Ange det exakta värdet och ett närmevärde med två decimaler.

Vi börjar med att bestämma skärningspunkterna mellan linjen och parabeln. Vi har

\left\{ \begin{array}{l}{{y}^{2}}=4x\\4x-3y=4\end{array} \right.

Vi substituerar den första ekvationen i den andra:

\begin{array}{l}{{y}^{2}}-3y=4\\{{y}^{2}}-3y-4=0\\y=\frac{3\pm \sqrt{{{(-3)}^{2}}-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 5}{2}\end{array}

Vi får rötterna y = -1 och y = 4

Motsvarande x-koordinater: (Vi väljer linjens ekvation i formen x=\frac{3}{4}y+1)

y = -1:      x=\frac{3}{4}\cdot (-1)+1=\frac{1}{4}  ; Skärningspunkten: (1/4,-1)

y = 4:       x=\frac{3}{4}\cdot 4+1=4                     ; Skärningspunkten: (4,4)

                                                                                                                       1 p

Avbildning:

Linjens ekvation: y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}

Parabeln ekvation kan skrivas som x=\frac{1}{4}{{y}^{2}}

Värdetabeller kan ställas upp via dessa uttryck.                                    1 p

                                                                                             1 p

(Vi återkommer till hur bilden konstruerats)

Arean kan beräknas med hjälp av en bestämd integral. En enkel metod är då att skriva både linjens och parabelns ekvationer i formerna:

\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}y+1\\x=\frac{1}{4}{{y}^{2}}\end{array}

alltså:

\begin{array}{l}f(y)=\frac{3}{4}y+1\\g(y)=\frac{1}{4}{{y}^{2}}\end{array}

I intervallet -1 ≤ y ≤ 4 är f(y) ≥ g(y):                                                    1 p

Vi integrerar:

\begin{array}{l}A=\int\limits_{-1}^{4}{\left( f(y)-g(y) \right)dy}\\=\int\limits_{-1}^{4}{\left( \frac{3}{4}y+1-\frac{1}{4}{{y}^{2}} \right)dy}\end{array}

1 p

\begin{array}{l}=\underset{-1}{\overset{4}{\mathop{/}}}\,\left( \frac{3}{8}{{y}^{2}}+y-\frac{1}{12}{{y}^{3}} \right)\\=\left( \frac{3}{3}\cdot {{4}^{2}}+4-\frac{1}{12}\cdot {{4}^{3}} \right)-\left( \frac{3}{3}\cdot {{(-1)}^{2}}-1-\frac{1}{12}\cdot {{(-1)}^{3}} \right)\\=\frac{125}{4}\approx 5,21\end{array}

Svar: Arean är 125/4 eller ca 5,21 areaenheter stor.                              1 p

Kontrollmöjligheter:

Vi börjar med bilden. Operativsystemet bör vara uppdaterat till version 3.2 för att detta ska lyckas! Vi börjar med att undersöka en ny avbildningsmöjlighet på grafskärmen. Ett tryck på Menu, ger följande möjligheter:

När graferna är ritade, kan vi ta reda på skärningspunkterna (menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 3-Skärningspunkter):

Integrationsdelen av uppgiften måste vi gör ”icke-grafiskt”, t.ex. direkt på räknarskärmen:

 

 

Våra tidigare resultat stämmer alltså.

 

 

En smårolig derivatauppgift med kontroll

Exemplet lyder så här:

En rektangel har ett hörnet i origo och två av sina sidor placerade på de positiva koordinataxlarna. Det diagonalt motsatta hörnet ligger på linjen 2x+y=100. Vilken är den största arean rektangeln kan få?

Låter som en derivatauppgift! Vi gör en snabb genomgång av den tekniska lösningen:

Vi löser först ut y ur linjens ekvation: y = -2x + 100 (där 0<x<50).

Sedan utvecklar vi ett uttryck för arean av rektangeln: A(x) = x*(-2x+100) = -2x^2 + 100x

Derivering: A´(x) = -4x + 100 med nollstället x = 25. Derivatans nollställe motsvarar ett maximum för funktionen A(x) (en parabel med toppen uppåt).

Största arean borde vara A(25) = -2*25^2+100*25 = 1250 areaenheter?

Saken kan kontrolleras på olika sätt. Väljer ett alternativ väl lämpat för demonstration här:

En fil med namnet RektangelDer.tns med material finns i Box-verktyget!

Mellan de olika arbetsmomenten, måste man hela vägen komma ihåg att trycka på Esc, när man klarat av ett delsteg!

Linjen har ritats ut och en godtycklig punkt placerats på den. Följande steg är att konstruera paralella linjer till koordinataxlarna genom punkten: (Menu, 8-Geometri, 4-Konstruktion, 2-Parallell)

Markera sedan skärningspunkterna mellan dessa paralleller och koordinataxlarna. Markera också koordinataxlarnas skärningspunkt, origo. (Menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 3-Skärningspunkter):

Nu har vi rektangelns hörn. Man kan rita in en rektangel på bilden, men det kan vara knepigt att ”fästa hörnen” på ett vettigt sätt. Vi väljer en annan metod. Placera in två segment, från origo till parallellernas skärningspunkter med koordinataxlarna (Menu, 8-Geometri, 1-Punkter och linjer, 5-Segment). Mät sedan längden på segmenten (Menu, 8-Geometri, 3-Mätning, 1-Längd).

Vi har nu rektangelns bredd och höjd!

Nu följer det egentliga knepet. Vi lagrar de två mätresultaten med variabelnamnen h och b. Klicka på et av dem så att den gråmarkeras. Tryck sedan på tangenten var

Välj namnet h för höjden. Upprepa med bredden.

Placera sedan i en text med utseendet h*b någonstan på skärmen (Menu, 1-Åtgärder, 7-text):

Gråmarkera texten och völj beräkna (Menu, 1-Åtgärder, 9-Beräkna). Klicka på texten h*b och markera b och h.

Man kan grabba tag i punkten på linjen och flytta den av och an. Då ser man hur rektangelns area variera!

Saken kan också demonstreras på ett ytterligare sätt. Vi öppnar ett kalkylark i vårt dokument. Vi väljer rubriker på tre kolumner, t.ex.:

Gå nu till kommandoraden (den grå) i första kolumnen. Tryck på Menu och välj:

Välj namn enligt variabeln på grafskärmen:

Upprepa för höjden, men vänta med arean.

Lagra den beräknade arean t.ex. med namnet area. Det sker på samma sätt som b och lagrades tidigare.

Återvänd till kalkylarket och plocka in arean värde i de tredje kolumnen.

Gå nu tilbaka till grafen, grabba tag i koordinathörnet på linjen och för den av och an längs linjen ett antal gånger. Det som händer är att datapunkter automatiskt överförs till kalkylarket!

Nu ska vi avbilda detta. Öppna i samma dokument en statistikskärm:

Nu är vi nästan framme vid målet. Gå ner till texten ”Klicka för att lägga till variabel”. Placera bas på x-axeln och arean på y-axeln. Sedan får vi:

Vackert så!