Ett litet navigationsproblem

Här kommer ett litet problem som bloggaren stötte på i mekanikboken. Tänkte mig lösa det på tre olika sätt. Algebraiskt, ”grafiskt” och med vektorer! Lösningarna har  lagrats och kan öppnas här.

Skärmavbild 2016-10-08 kl. 13.13.55.png

08-10-2016-skarmbild001

08-10-2016 Skärmbild005.jpg

 

08-10-2016 Skärmbild006.jpg

Annonser

Antal gällande siffror och Fermats (stora) sats

Ett litet problem som nämnts i ett par böcker* nyligen, är följande:  De flesta ”lite enklare räknare” ger följande resultat:

\sqrt[12]{{{1782}^{12}}+{{1841}^{12}}}=1922

och

\sqrt[12]{{{3987}^{12}}+{{4365}^{12}}}=4472

Jaha! Än sedan. Jo, om ovanstående stämmer bör också följande gälla:

{{1782}^{12}}+{{1841}^{12}}={{1922}^{12}} och {{3987}^{12}}+{{4365}^{12}}={{4472}^{12}}

men se det lär inte kunna stämma! Enligt Fermats stora sats har de tre naturliga talen x, y och z inga lösningar för uttrycket {{x}^{n}}+{{y}^{n}}={{z}^{n}} om det naturliga talet n är större än 2.

Vad betyder då ovanstående ur en ”räknarsynvinkel”? Jo räknare avrundar i något skede de beräknade resultaten. Vi ska se hur en CAS-programvara klarar av detta:

25-10-2014 Skärmbild003

Exemplet visar att programvaran i CAS-läge räknar tämligen imponerande resultat, men någonstans bör väggen rimligen fortfarande komma emot. Den här gången lyckades vi inte omkullkasta Fermats sats.

______________________________________________________________________

*

Simon Singh: The Simpsons and their Mathematical Secrets (Bloomsbury)

Posamentier, Lehmann: Mathematical Curiosities  (Prometheus Books)

Om reella och komplexa rötter till polynom.

I den finländska matematikundervisningen i gymnasiet, ingår inte komplexa tal inom ramen för de obligatoriska kurserna. Man kan möjligen komma i kontakt med dem i någon tillämpad kurs. Det här är synd! Komplexa tal behövs som begrepp inom mången naturvetenskap.

Här ska inte de komplexa talens algebra presenteras i detalj. Det tar för mycket plats. Refererar till några Wikipedialänkar för den som intresserar sig: Om komplexa tal, om algebrans fundamentalsats, om det komplexa talplanet (Argandplanet).

Bloggaren har tidigare skrivit ett inlägg om kommandot ”csolve”, som beräknar samtliga rötter av ett polynom – både eventuella och komplexa sådana. Vid diskussion med elever i fysikkurs 7 (elektromagnetism) uppstod frågan om man kan ”se” dessa rötter i någon form av grafisk framställning? Visst kan man det. Här är ett litet knep.

Vi utgår från att vi vill granska rötterna till ett polynom i det komplexa talplanet. Det komplexa talet a + b i, får då den reella delen a avbildad på ”x-axeln”, som nu kallas reella axeln, och b avbildad på ”y-axeln”, nu kallad imaginära axeln.

I stället för att använda solve/csolve, kan man använda kommandot zeros/czeros. Fördelen är att man får rötterna uppradade i en lista! Om man namnger den, kan man ur räknarens minnen plocka fram rötterna och deras komponenter. Ett exempel:

Kom16_3_1Kompl16_3_2

Kompl16_3__3

Observera hur kommandot ”czeros” används. Man skriver INTE in ekvationen, utan antyder den i normalform, med alla termer ”till vänster”. Observera också att man bör namnge listan med nollställen för att kunna gå vidare. På den tredje bilden visas lösningarna i det komplexa talplanet. En av dem saknar imaginär del. Det är den reella roten x = -1.

Nu har vi ett verktyg för ytterligare undersökningar:

Kompl16_3_4Kompl16_3_5

Räknaren övergick i närmevärden här. Man kan gott förvänta sig det!

Intressant mönster! Forska gärna vidare!

Ett märkligt äldre läroboksexempel

Kollegan Edward Krogius har hittat ännu ett intressant problem att bita i. Det hittades i ett prov från 19.10.1945, kursen i KORT matematik, årskurs 2. Hm! Det lyder så här (översatt till svenska):

Vilken ekvation av andra graden har som rötter de inversa värdena av kuben på rötterna till ekvationen x^2-x+3=0?

Inte ett enkelt problem detta! Redan på ögonmått ser vi att den sistnämnda ekvationen saknar reella rötter!! Vi måste alltså operera med komplexa tal. I kort matematik! Ok. Vi kör:

EKC1

Här löstes ekvationen så att de komplexa nollställena (med kommandot czeros), eftersom det går att lagra nollställena i listform då! Dessutom beräknades inversa värdet av kuben på dessa rötter. Nu är vi klara att fortsätta.

EKC2

Svaret på sista raden ovan borde vara det sökta uttrycket. Vi kontrollerar.

EKC3

Svaret ser alltså ut att vara x^2+8x/27+11/27=0

Kan man klara sig utan komplexa tal? Möjligen. Ska ta mig en funderare. Återkommer kanske. Tycker mig minnas någonting som kallas Viete’s teorem. Om någon kan hjälpa, så går det bra att kommentera!

Bloggaren frågar sig ödmjukt vad sjutton en dylik uppgift har att göra i ett prov i kort matematik.

Ekvationslösning

Du kan lösa diverse ekvationer med kommandot solve(ekvation,variabel). Kommandot kan skrivas in på räknarskärmen för hand, eller sökas fram via MENY-tangenten.

Om du löser trigonometriska ekvationer, är det skäl att använda korrekta vinkelinställningar:

Den övre beräkningen har skett med inställningen grader, den undre med radianer.

Klarar räknaren av icke-reella lösningar?

Vi testar:

Kommandot cSolve(ekvation,variabel) ger komplexa tal som lösning när detta krävs.

Observera att du kan bearbeta ”bokstavsuttryck” inom rimliga gränser.