MaA Våren 2017 uppgift 8

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 11.19.08.png

 

Vi inleder med att undersöka grafen av ”ekvationen” skriven som en funktion.

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.08.17.png Nu har vi en bild av vad vi ska göra. Om vi utan en graf vill bevisa att funktionen har nollställen. kan vi resonera så här:

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.10.42.png

är ett polynom av tredje garden och som sådan kontinuerlig för alla reella värden på x.  En enkel kontrollräkning ger

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.14.09.png

Enligt Bolzanos sats har funktionen ett nollställe mellan x = -4 och x = 2.  De övriga nollställena kan konstateras på motsvarande sätt, eftersom

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.19.55.png

Baserat på grafen är det tydligen det sistnämnda nollstället vi söker. Det är enkelt att lösa problemet med kunskap om vad Newtons metod innebär.

På Anteckningar-skärmen kan man t.ex. länka ett antal kommandon, där man kan utnyttja kopiering för att skriva mindre:

08-04-2017 Skärmbild003.jpg

SVAR Med fyra gällande siffror är nollstället x = -0,4425

Vi kan också skriva ihop ett kort program

08-04-2017 Skärmbild002.jpg

Bilden visar programmet. När det är kontrollerat och lagrat

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.46.51.png

kan det köras i räknarrutan. Vi börjar med att göra gissningen, här a = 0. Sedan kör vi med kommandot newton(). Varje tryck på ENTER gr sedan ett nytt närmevärde för vår rot (om gissningen lyckades och metoden konvergerar). Sex körningar ger:

Skärmavbild 2017-04-08 kl. 15.50.32.png

vilket verkar övertygande.

Svar: Nollstället hittas vid x = -0,4425 med fyra decimalers noggrannhet.

(De andra nollställena kan snabbt beräknas motsvarande)

 

 

 

 

 

 

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s