Grafisk integration av mätdata

En fråga har kommit in till bloggen. Jag blev ombedd att skriva ett program som integrerar ”mätpunkter”. Som ett exempel nämndes uppgift 11 i höstens (2013) studentskrivningar i fysik. Ska ta mig an utmaningen att se på uppgiften, men ett enda kort svar täcker knappast alla möjligheter här.

Problemet är att diskreta punkter inte är ett matematiskt funktionsuttryck. Därför kan de inte ”integreras” direkt. Vi måste göra en del förberedelser som dessutom kan variera från fall till fall. Ska därför inte skriva ett program, men nog komma med några tips.

Vi kan börja med ett exempel:

Anta att att en kondensator urladdas. Strömmen so funktion av tiden är:

I  (A):     1,96   1,58   1,29   1,03   0,83   0,67   0,54   0,43   0,36    0,28

t (s):       0,00   0,20   0,40   0,60   0,80   1,00   1,20   1,40  1,60    1,80

Vi matar in dessa på kalkyskärmen, undersöker dem på statistikskärmen och kollar om det finns en vettig matematiskt modell, som kan skrivas i funktionsform:

punktin1punktint2

punktint3

Nu råkade det vara så, att en matematisk modell som räknaren står till tjänst med, expontentiellt avtagande, passar synnerligen bra in på mätdata.

Ett litet tips: Ibland krånglar räknaren om nollor ingår i mätdata. Om man anger små mätvärden, mycket när noll,kan man få räknaren att fungera.

Laddningen Q = I * t  i kondensatorn kan nu beräknas genom att integrera:

punktint4

Det är inte sagt att det går att hitta en lämplig matematisk modell! Vad gör man då?

Man blir tvungen att förlita sig på numerisk matematik. Där hittar man ett antal metoder. Om vi på x-axeln har jämnt födelade data (samma intervall överallt) och gärna rätt så många mätpunkter, kan vi t.om. utveckla en egen, ganska grov version av ”rektangelmetoden”. Duger för hushållsbruk, när man vill ha en snabbkoll på ”arean under en tänkt kurva”. Sedan kan man förstås övergå i mera sofistikerade metoder, trapetsmetoden, Simpsons regel eller så.

Vi tar ett exempel till. Anta att vi mäter kraften som påverkar en liten boll då vi slår till den med en klubba.

F (N)   0,00   2.32   4.92   9.34   5.67   3,96    2.66   1,51   0.46    0,00

t (s)     0,00   0,01   0,02   0,03   0,04   0,05    0,06   0,07   0,08    0,09

Vi ser på data:

punktint5punktint6

Det kan gå att anpassa ett polynom till dessa data, men vi väljer en annan metod. Vi antar att varje kraftvärde definierar en rektangel med bredden lika med intervallen på tidsaxeln. Då är den grafiska integralen ca:

punktint7

Metoden fungerar sämre ju färre mätpunkter vi har. Man kunde försöka rita ut en mjuk profil genom punkterna och mata in flera punkter i statistiken.

När man har ett fungerande värde för ”integralen”, kan man beräkna bollens hastighet efter stöten.

Anta att bollend massa är 65 g och att den ligger i vila då vi stöter till den. Enligt impulsprincipen: Δp = I = 0,3084 Ns

punktint8

Bollen rör sig med ca 4,7 m/s

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s