En liten sannolikhetsparadox

Anta att en liksidig triangel är inskriven i en cirkel. Dra en godtycklig linje så att den skär cirkeln. Vilken är sannolikheten för att den sektor av linjen som ligger inom cirkeln är längre än den inskrivna triangelns sidlängd?

_________________________________________________________________________

Bloggaren har inte hittat på detta problem. Läste det i en bok skriven av Martin Gardner för länge sedan. Det roliga var att han presenterade två lösningar som ger olika svar. Vi ska se på resonemangen här. Kanske kan läsaren avgöra vilken lösning som är den rätta och i så fall varför.

 

Det kan påpekas att jag har diskuterat problemet med matematiker till och från genom åren. Båda lösningarna har visat sig ha anhängare!

Lösning 1

Vi konstruerar cirkeln med sin inskrivna cirkel (Det lönar sig att först konstruera en reguljär polygon och sedan forma den till en triangel. Cirkeln omskrivs sedan.):

Gardner1

Sedan beräknar vi avståndet från medelpunkten till en av triangens sidor:

Gardner2Gardner3

Den lilla triangeln är en typtriangel, 30, 60, 90-grader. Avståndet från cirkeln medelpunkt till triangelns sidor är alltså r/2 om r är cirkelns radie.

Nu ritar vi en godtycklig linje över vår cirkel och vrider den inskrivna triangeln så att en av sidorna är parallell med linjen:

Gardner4

Den korda på linjen som hamnar innanför cirkeln är på bilden längre än triangelsidan. Villkoret för att så är fallet, är uppenbarligen att kordans medelpunkt hamnar innanför den i triangeln inskrivna cirkeln.

Med vilken sannolikhet hamnar kordans medelpunkt innanför den inre cirkeln? Om vi resonerar med geometrisk sannolikhet, är svaret förhållandet mellan cirklarnas areor

gardner5

Detta skulle ge sannolikheten 1/4

Lösning 2

Nu drar vi vår linje över cirkeln. Sedan vrider vi den inskrivna triangeln till ett av hören sammanfaller med en av skärningspunkterna mellan cirkeln och linjen. Vi ritar tangenten till cirkeln i skärningspunkten.

gardner6

Om linjen ska vara godtycklig, kan den bilda vilken vinkel som helst mot tangenten i tangeringspunkten. Kordan inom cirkeln är längre än tangenten om vinkeln ligger inom den mittersta delen på 60 grader av totalt 180 grader. Sannolikheten blir då:

60/180 = 1/3

Vilket av svaren är det rätta? Var ligger felet i resonemangen?

Bloggaren ska fundera på en simulationsprogramsnutt. Återkommer kanske!

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s