Landning – ett flyplans bana under inflygningen

Vi antar att ett flygplan är på väg mot Helsingfors. Flyghöjden är 12 km och hastigheten ca 1000 km/h. Strax före Åbo inleds landningen. Horisontella avståndet från Helsingfors är då ca 200 km. Anta att planet efter att ha flugit ytterligare 100 km har sjunkit till höjden 6 km.  Beskriv landningens flygbana som en polynomfunktion, om vi antar att planet inte behöver cirkla runt landningsbanan, utan gå in för en direkt landning i färdriktningen (om så väl vore). Anta också en möjligast mjuk landning!

Anta vidare att markhastigheten (den horisontella hastigheten) minskar linjärt från det att landningen inleds till 250 km/h då planet tar mark. Hur länge räcker landningen?

Vilken är banriktningens horisontalvinkel, när flygplanet sjunker snabbast?

_______________________________________________________________________________

Vi börjar med att markera de tre punkter vi känner till:

flyget1

Vilken polynomfunktion ska vi välja. Om funktionen gradtal är ett, är banan en linje. Ingen mjuklandning då. Om gradtalet är 2, är banan en parabel. Man kunde få en mjuk landning, men en horisontal inflygning vid Åbo är då omöjlig. Gradtal 3?? Intressant. Vi fastnar för det alternativet.

Det finns ett problem. För att med säkerhet fastställa en tredjegradsfunktion, borde vi ha 4 punkter! Vi har 3! Vi har ändå information som räddar läget. Då inflygningen inleds flyger planet horisontellt. Ska vi ha en mjuk landning, kan vi anta samma sak igen (smått optimistiskt). I dessa punkter har banfunktionen derivatavärdet noll!

Vi börjar nu bearbeta problemet på Anteckningar-skärmen. Observera att då en funktion definieras eller en variabel ges ett värde, används :=, medan en ekvationslösning sker med vanligt =.

flyget2flyget3

flyget4flyget5

flyget6

Där satt den delen av uppgiften! Andra resonemang kan också användas!

Hur länge räcker landningen?

En fysiker skulle välja modellenx=\frac{v+{{v}_{0}}}{2}\cdot t om vi antar likformig acceleration (inbromsning).

flyget7

Vilken är då horisontalvinkeln vid snabbaste sänkningen?

flyget8flyget9

vilket knappast är en överraskning! Nu blev det i alla fall motiverat! Andra derivatans nollställe kallas för övrigt en inflexionspunkt. Grafens krökning tenderar där att byta riktning – i detta fall kommer sänkningens takt att övergå från ökande till minskande.

Vilken lutning har grafen av funktionen i denna punkt?

flyget10

En banvinkel på ca -5 grader mot horisontalplanet alltså.

Man kan spinna vidare på problemet. Hur lång är t.ex. de verkliga banan i modellen? Sträckan 200 km räknas ju horisontalt! Kunde man beräkna landningstiden om flygets verkliga hastighet (inte bara den horisontala ”markhastigheten”) avtar linjärt? Klarar man det sistnämnda analytiskt? Lycka till!

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s