Fjäderpendeln – en djupare analys

fjäder

Anta att vi har en fjäderpendel, där pendelkulan har massan m och fjädern en fjäderkonstant k.  Vi drar ut fjädern. Den enda kraft som antas gälla då, är fjäderna ”tillbakadragande” kraft som ges av Hookes lag F=-k\cdot A enligt bilden. Vi släpper fjädern. Vad händer?

(För att lura bort tyngdkraften kan vi t.ex. tänka oss att fjädern glider på ett friktionslöst horisontellt plan).

Det här enkla problemet leder oss in på en differentialekvation! Kraften på fjädern ges av Hookes lag, medan den allmänna ormen för en kraft enligt Newtons andra lag, kan skrivas som F=m\cdot a. Vi skriver alltså:

m\cdot a=-k\cdot x          ekvation 1

där maximala värdet för x är det på bilden angivna A. Detta är en differentialekvation! Varför?

Eftersom: v=\frac{dx}{dt},\ \ a=\frac{dv}{dt} måste vi ha: a=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}

Acceleration är alltså andra tidsderivatan av läget! Detta gör att ekvation 1 kan skrivas:

\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=-\frac{k}{m}\cdot x

vilket är en intressant differentialekvation. Det går att lösa den direkt med CAS, men vi ska ta oss en funderare först! (Detta är ju fysik!! Det är tillåtet att tänka!)

Fjäder1fjäder2

fjäder3fjäder4

fjäder5fjäder6

 

 

Grafisk kontroll (vi väljer ett par parametrar, t.ex. k =15 N/m, m =0,45 kg och A = 7 cm, i beräkningarna ovan antog vi att A = 1, vilket inte påverkar slutresultatet nämnvärt):

fjäder7fjäder8

 

Det ”svänger” som sig bör. Gör gärna ett laboratorieförsök med en fjäder och jämför!

 

 

 

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s