Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift *15

a)

En cirkel, vars radie r>frac{1}{2}, placeras in i parabeln y={{x}^{2}} enligt figuren. Visa att cirkelns medelpunkt har y-koordinaten  {{r}^{2}}+frac{1}{4}     (3 p.)

2013-05-28 06-14-03 +00001

b)

Vi får cirkeln {{C}_{1}} genom att i deluppgift a välja r={{r}_{1}}=1. Vi placerar in en annan cirkel {{C}_{2}}, som tangerar {{C}_{1}} och parabeln. Genom att fortsätta på samma sätt, får vi en följd av cirklar {{C}_{1}}{{C}_{2}}{{C}_{3}}, … Bestäm radien för cirkeln {{C}_{2}}.        (2 p.)

c)

Visa att radierna {{r}_{n}} och {{r}_{n+1}} för två efterföljande cirklar {{C}_{n}} och {{C}_{n+1}} uppfyller rekursionsformeln {{left( {{r}_{n+1}} right)}^{2}}-{{r}_{n+1}}={{(r{}_{n})}^{2}}+{{r}_{n}} för varje n = 1, 2, 3, …       (2 p.)

d)

Visa med deluppgift c att {{r}_{n+1}}={{r}_{n}}+1 för varje n = 1, 2, 3, …    (2 p.)

2013-05-28 06-38-46 +00001

_______________________________________________________________________________

a)

Här är det frestande att utnyttja räknarens möjligheter till visualisering. Följande experiment är alltså inte en del av själva lösningen:

V13U15_1V13u15_2V13u15_3V13u15_4

Vi börjar med att konstruera parabeln och rita ut en tangent till densamma. Sedan konstruerar vi normalen till tangenten i tangeringspunkten. Sedan konstruerar vi en cirkel med medelpunkten i normalens skärningspunkt med y-axeln och periferin på tangeringspunkten. Normalen göms och istället konstrueras ett segment mellan tangeringspunkten och cirkelns medelpunkt.

Sedan placerar vi ut några koordinater och mått:

V13u15_5

Ser alltså lovande ut!! Systemet är givetvis dynamiskt. Man kan förändra tangeringspunkten och följa med vad som händer.

Sedan till beräkningarna:

Vi benämner cirkelns medelpunkt: M(0,b) och tangeringspunkten T(a,{{a}^{2}}). Cirkelns radie benämner vi r.

Eftersom y={{x}^{2}} och alltså {y}'=2x, måste parabelns derivata i tangeringspunkten (a,{{a}^{2}}) ha riktningskoefficienten 2a. Cirkelns tangent i denna punkt har samma riktningskoefficient. Tangentens normal har för sin del riktningskoefficienten -frac{1}{2a}. En linje genom punkterna M och T har då ekvationen

V13U15_6

För cirkeln gäller:

V13U15_7

Vi har alltså en ekvation för cirkeln av typ {{r}^{2}}={{a}^{2}}+{{left( frac{1}{2} right)}^{2}}. För alla positiva värden för a hittar vi alltså en cirkel som tangerar parabeln i punkten (a,{{a}^{2}}). Cirkeln har radien r(a)=sqrt{{{a}^{2}}+frac{1}{4}}.

Radien som funktion är monoton och växer mot oändligheten då a växer mot oändligheten. Vidare gäller r(0)=frac{1}{2}, vilket betyder att den minsta cirkeln har radien 1/2 då a = 0.

Sedan kombinerar vi de resultat vi fått:

V13U15_8

vilket vi ville bevisa!

b)

V13U15_10

Ur grafen kan vi avläsa:

V13U15_11

Negativa värdet förkastas. Alltså om {{r}_{1}}=1 är {{r}_{2}}=2.

c)

V13U15_12

 

I detta c)-fall har räknarens CAS-egenskaper inte i sig utnyttjats, men observera möjligheten att via textformatering indexera!

d)

Vi fortsätter i samma anda som i c)-fallet:

V13U15_13V13U15_14

 

 

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s