Studentexamen i LÅNG MATEMATIK våren 2013 – uppgift 12

En rektangel har en sida på x-axeln och två hörn på kurvan y = cos x, då -\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}.

a) Bilda ett uttryck för rektangelns area A(t) som funktion av variabeln 0<t<\frac{\pi }{2} som är utmärkt i figuren.

b) Bestäm nollstället för derivatan av funktionen A(t) med två decimalers noggrannhet genom att använda en numerisk metod som du själv väljer.

c) Bestäm med en decimals noggrannhet närmevärdet för rektangelns största möjliga area.

2013-05-19 07-55-42 +00001

________________________________________________________________________a)

a)

V13MAA12_1

På bilden ovan har vi använt faktumet att \cos (t)=\cos (-t), vilket ger arean

A(t)=2t\cdot \cos (t) då 0<t<\frac{\pi }{2}

b)

Vi deriverar

V13MAA12_2

Att söka nollstället för detta uttryck UTAN cas-teknik, kräver en numerisk metod. Vi väljer t.ex. Newtons metod. Då måste vi derivera uttrycket en gång till och göra en gissning. Vi väljer t.ex. gissningen {{t}_{0}}=1.

V13MAA12_3V13MAA12_4

På högra bilden ses ”formeln” för Newtons metod. Sedan är det bara att trycka på Enter för att driva fram närmevärdet:

V13MAA12_6

Svaret är alltså uppenbart att derivatans nollställe är ca 0,86

c)

Här bör vi göra en teckenanalys. vi kontrollerar numeriskt:

V13MAA12_7V13MAA12_8

 

Arean ha alltså ett maximumvärde för t = 0,86 och detta är ca

V13MAA12_9

 

Alltså ca 1,1 area-enheter!

 

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s